Question

如圖，等腰直角三角形ABC的腰長是2，∠ABC=Rt∠，以AB為直徑作半圓O，M是BC上一動點（不運動至點B、C，過點M引半圓O的切線，切點是P．過點A作AB的垂線AN，交切線MP于點N，AC與ON，MN分別交于點E，F，設BM=x，．
（1）證明：∠MON是直角；
（2）求y關于x的函數關系式及自變量x的取值范圍；當∠CMF=120°時，求y的值；
（3）當F、M、C為頂點的三角形與△AEO相似時，求∠CMF的度數．

Answer 1

（1）證明：連接OP，根據切線長定理和切線的性質定理，
得∠AON=∠PON，同理可得∠POM=∠BOM，
兩式相加得∠AON+∠BOM=∠PON+∠POM=180°×=90°，
∠MON是直角；

（2）解：∵∠MON=90°
∴∠NOA+∠MOB=90°
又∠NOA+∠ANO=90°
∴∠ANO=∠MOB
∴△ANO∽△BOM
∴，即AN•BM=1，AN=
∵AN∥BC
∴y====-x²+2x（0＜x＜2）
因為∠CMF=120°，∠PMB=60°
所以∠OMB=30°，BM=OB=
即x=
∴y=2-3；

（3）解：∵∠CAB=∠C=45°，因此分兩種情況討論：
①∠CMF=∠AOE，△AOE∽△CMF
易知∠AON=∠NOP=∠CMF，
∴∠POB=180°-2∠CMF，∠FMB=180°-∠CMF
∵∠BMF+∠POB=180°
∴180°-2∠CMF+180°-∠CMF=180°
∴∠CMF=60°；
②∠CFM=∠AEO，△CFM∽△AOE，
易知∠PON=∠AON=∠CFM
∴∠PFE=∠POE
∵∠OPF=90°
∴∠OEF=90°
∴∠AON=∠CFM=45°
∴∠CMF=90°．
分析：（1）連接OP，根據切線長定理和切線的性質定理，易得∠AON=∠PON，同理可得∠POM=∠BOM，于是得到∠AON+∠BOM=∠PON+∠POM，可知∠MON是直角；
（2）由于三角形周長的比等于相似比，所以將轉化為y==，AN與BM的比例關系可通過證△AON和BMO相似求得；
（3）本題要分兩種情況進行討論：
①∠AON與∠CMF對應相等，那么∠AOP=2∠CMF，根據∠POB+∠FMB=180°，即可求出∠CMF的度數；
②∠AON與∠CFM對應相等，那么∠POE=∠PFE，兩角都加上一個對頂角后可得出∠AEO為直角，那么∠AON和∠CFM均為45°，由此可得出∠CMF的度數．
點評：本題主要考查了切線的性質、切線長定理、等腰直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質等知識點，綜合性較強．