Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC，點D在邊BC所在的直線上，過點D作DF∥AC交直線AB于點F，DE∥AB交直線AC于點E，構(gòu)造出平行四邊形AEDF．

（1）若點D在線段BC上時． ①求證：FB＝FD．②求證：DE＋DF＝AC．

（2）點D在邊BC所在的直線上，若AC＝8，DE＝3，請作出簡單示意圖求DF的長度，不需要證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析，見解析；（2）DF=BF=5或DF=BF=11 見解析.

【解析】

（1）①根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得∠B＝∠C，由平行線性質(zhì)得∠FDB＝∠C，等量代換得∠B＝∠FDB，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)：等角對等邊即可得證.
②由平行四邊形性質(zhì)得ED＝AF，AE＝FD，由①知FB＝FD，等量代換得AE＝FB，從而可得DE＋DF＝ AF＋ FB＝AB=AC．
（2）如圖1：根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得AF=DE=3，DF=AE，由（1）知FB=FD，由DF=BF=AB-AF=8-3=5；
如圖2：根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得AF=DE=3，DF=AE，由（1）知FB=FD，由DF=BF=AB+AF=8+3=11.

解：（1）①∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵DF//AC，

∴∠FDB＝∠C，

∴∠B＝∠FDB，

∴FB＝FD．

②∵四邊形AEDF是平行四邊形，

∴ED＝AF，AE＝FD，

∵FB＝FD，

∴AE＝FB，

∴DE＋DF＝ AF＋ FB＝AB，

∵AB＝AC，

∴DE＋DF＝AC．

（2）如圖1，

∵四邊形AEDF為平行四邊形，

∴AF=DE，DF=AE，

由（1）知FB=FD，

∵AC=8，DE=3，AB=AC，

∴AF=3，BF=AB-AF=8-3=5，

∴DF=BF=5；

如圖2，

∵四邊形AEDF為平行四邊形，

∴AF=DE，DF=AE，

由（1）知FB=FD，

∵AC=8，DE=3，AB=AC，

∴AF=3，BF=AB+AF=8+3=11，

∴DF=BF=11；