Question

如圖，已知AB=2，AB、CD是⊙O的兩條直徑，M為弧AB的中點，C在弧MB上運動，點P在AB的延長上，且PC=AC，作CE⊥AP于E，連接DP交⊙O于F．
（1）求證：當AC=時，PC與⊙O相切；
（2）在PC與⊙O相切的條件下，求sin∠APD的值。

Answer 1

（1）證明：連接BC，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，cosA==，
∴∠A=30°，
又∵PC=AC，
∴∠CPE=∠A=30°，
∴∠COP=∠A+∠ACO=2∠A=60°，
∴∠OCP=180°-∠CPE-∠COP=90°，
∴PC與⊙O相切；

（2）解：在Rt△CDP中，
∵CD=2，CP=
∴DP=
作DH⊥AP垂足為H
∵∠HOD=∠COE，OC=OD，∠CEO=∠DHO=90°，
∴Rt△DHO≌Rt△CEO
可得DH=CE=AC•sin30°=
在Rt△DHP中：sin∠APD===
分析：（1）連接BC，AB為直徑，解直角三角形ABC得∠A=30°，又PC=AC，得∠CPE=∠A=30°，∠COP=∠A+∠ACO=2∠A=60°，利用內角和定理證明∠OCP=90°；
（2）作DH⊥AP垂足為H，可證DH=CE，利用解直角三角形求CE，在Rt△CDP中，由CD=2，CP=，利用勾股定理求DP，由sin∠APD=求解．
點評：本題考查了切線的判定，全等三角形的判定與性質，勾股定理，圓周角定理，解直角三角形的知識．關鍵是作輔助線，將問題轉化到特殊三角形中求解．