Question

已知方程x2+mx+

1

2

=0的兩根為一個直角三角形ABC兩銳角A、B的正弦，則m的值為

 

．

Answer 1

分析：利用互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系sinA=cosB、韋達(dá)定理求得（cosB+sinB）²=cos²B+sin²B+2cosB•sinB，即m²=2，然后根據(jù)正余弦三角函數(shù)值來確定m的取值范圍，并求m的值．

解答：解：∵方程x2+mx+

1

2

=0的兩根為一個直角三角形ABC兩銳角A、B的正弦，
∴sinA=cosB；
∴由韋達(dá)定理，得
sinA+sinB=cosB+sinB=-m，①
sinA•sinB=cosB•sinB=

1

2

，②
∴（cosB+sinB）²=cos²B+sin²B+2cosB•sinB，③
由①②③，得
m²=1+2×

1

2

=2，即m²=2，
解得，m=±

2

，
又-m＞0，∴m＜0，
∴m=-

2

；
故答案是：-

2

．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系．解答本題的關(guān)鍵是知道sinA=cosB、cos²B+sin²B=1這兩個算式．另外，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．