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【題目】【觀察發(fā)現】

如圖1,四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形,且點E在邊AB上,連接DE和BG,猜想線段DE與BG的數量關系,以及直線DE與直線BG的位置關系.(只要求寫出結論,不必說出理由)

【深入探究】

如圖2,將圖1中正方形AEFG繞點A逆時針旋轉一定的角度,其他條件與觀察發(fā)現中的條件相同,觀察發(fā)現中的結論是否還成立?請根據圖2加以說明.

【拓展應用】

如圖3,直線l上有兩個動點A、B,直線l外有一點O,連接OA,OB,OA,OB長分別為、4,以線段AB為邊在l的另一側作正方形ABCD,連接OD.隨著動點A、B的移動,線段OD的長也會發(fā)生變化,在變化過程中,線段OD的長是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由.

【答案】【觀察發(fā)現】DE=BG,DEBG;【深入探究】然成立,理由見解析;【拓展應用】最大值為8;

【解析】

試題分析:(1)根據正方形的性質,顯然三角形BCG順時針旋轉90°即可得到三角形DCE,從而判斷兩條直線之間的關系;

(2)結合正方形的性質,根據SAS仍然能夠判定BCG≌△DCE,從而證明結論;

(3)以OA為邊做正方形OAGF,連接OG、BG,則OC=OA=4,當G、O、B三點共線時,BG最長,此時BG=OC+OB=4+4=8,從而確定正確的答案.

解:【觀察發(fā)現】:DE=BG,DEBG;

【深入探究】:【觀察發(fā)現】中的結論然成立,即DE=BG,DEBG;

理由:四邊形ABCD、四邊形CEFG都是正方形,

BA=AD,AG=AE,BAD=EAG=90°,

∴∠BAG=DAE(1分),

BAGDAE中,

,

∴△BAG≌△DAE(SAS),

BG=DE,ABG=ADE

設線段DE分別與BG、AB相交于點P、Q兩點,

BAD=90°ADE+AQD=90°,

∴∠ABG+PQB=90°,

∴∠BPQ=90°,

即DEBG

【拓展應用】以OA為邊做正方形OAGF,連接OG、BG,則OG=OA=4,

由【深入探究】可得OD=BG,

當G、O、B三點共線時,BG最長,此時BG=OG+OB=4+4=8,

即線段OD長的最大值為8.

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