Question

【題目】【觀察發(fā)現(xiàn)】

如圖1，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，且點(diǎn)E在邊AB上，連接DE和BG，猜想線段DE與BG的數(shù)量關(guān)系，以及直線DE與直線BG的位置關(guān)系．（只要求寫出結(jié)論，不必說(shuō)出理由）

【深入探究】

如圖2，將圖1中正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，其他條件與觀察發(fā)現(xiàn)中的條件相同，觀察發(fā)現(xiàn)中的結(jié)論是否還成立？請(qǐng)根據(jù)圖2加以說(shuō)明．

【拓展應(yīng)用】

如圖3，直線l上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B，直線l外有一點(diǎn)O，連接OA，OB，OA，OB長(zhǎng)分別為、4，以線段AB為邊在l的另一側(cè)作正方形ABCD，連接OD．隨著動(dòng)點(diǎn)A、B的移動(dòng)，線段OD的長(zhǎng)也會(huì)發(fā)生變化，在變化過(guò)程中，線段OD的長(zhǎng)是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】【觀察發(fā)現(xiàn)】DE=BG，DE⊥BG；【深入探究】仍然成立，理由見(jiàn)解析；【拓展應(yīng)用】最大值為8；

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，顯然三角形BCG順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°即可得到三角形DCE，從而判斷兩條直線之間的關(guān)系；

（2）結(jié)合正方形的性質(zhì)，根據(jù)SAS仍然能夠判定△BCG≌△DCE，從而證明結(jié)論；

（3）以O(shè)A為邊做正方形OAGF，連接OG、BG，則OC=OA=4，當(dāng)G、O、B三點(diǎn)共線時(shí)，BG最長(zhǎng)，此時(shí)BG=OC+OB=4+4=8，從而確定正確的答案．

解：【觀察發(fā)現(xiàn)】：DE=BG，DE⊥BG；

【深入探究】：【觀察發(fā)現(xiàn)】中的結(jié)論仍然成立，即DE=BG，DE⊥BG；

理由：∵四邊形ABCD、四邊形CEFG都是正方形，

∴BA=AD，AG=AE，∠BAD=∠EAG=90°，

∴∠BAG=∠DAE（1分），

∵在△BAG與△DAE中，

，

∴△BAG≌△DAE（SAS），

∴BG=DE，∠ABG=∠ADE，

設(shè)線段DE分別與BG、AB相交于點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)，

由∠BAD=90°得∠ADE+∠AQD=90°，

∴∠ABG+∠PQB=90°，

∴∠BPQ=90°，

即DE⊥BG；

【拓展應(yīng)用】以O(shè)A為邊做正方形OAGF，連接OG、BG，則OG=OA=4，

由【深入探究】可得OD=BG，

當(dāng)G、O、B三點(diǎn)共線時(shí)，BG最長(zhǎng)，此時(shí)BG=OG+OB=4+4=8，

即線段OD長(zhǎng)的最大值為8．