Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD于點E，DA平分∠BDE．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）如果AB=4，AE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OA，利用已知首先得出OA∥DE，進而證明OA⊥AE就能得到AE是⊙O的切線；
（2）通過證明△BAD∽△AED，再利用對應邊成比例關(guān)系從而求出⊙O半徑的長．
解答：（1）證明：連接OA，
∵OA=OD，
∴∠1=∠2．
∵DA平分∠BDE，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．∴OA∥DE．
∴∠OAE=∠4，
∵AE⊥CD，∴∠4=90°．
∴∠OAE=90°，即OA⊥AE．
又∵點A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切線．

（2）解：∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°．
∵∠5=90°，∴∠BAD=∠5．
又∵∠2=∠3，∴△BAD∽△AED．
∴，
∵BA=4，AE=2，∴BD=2AD．
在Rt△BAD中，根據(jù)勾股定理，
得BD=．
∴⊙O半徑為．
點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及相似三角形的判定及性質(zhì)的運用和切線的求法等知識點的掌握情況．要求學生掌握常見的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡單的方法解題．