Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等邊三角形，E是AB的中點，連接CE并延長交AD于F．
（1）求證：△AEF≌△BEC；
（2）判斷四邊形BCFD是何特殊四邊形，并說出理由；
（3）如圖2，將四邊形ACBD折疊，使D與C重合，HK為折痕，求tan∠ACH的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）①在△ABC中，由已知可得∠ABC=60°，從而推得∠BAD=∠ABC=60°．由E為AB的中點，得到AE=BE．又因為∠AEF=∠BEC，所以△AEF≌△BEC．
（2）在Rt△ABC中，E為AB的中點，則CE=AB，BE=AB，得到∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度．所以FC∥BD，又因為∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，則四邊形BCFD是平行四邊形．
（3）在Rt△ABC中，設BC=a，則AB=2BC=2a，AD=AB=2a．設AH=x，則HC=HD=AD-AH=2a-x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC²=3a²．在Rt△ACH中，由勾股定理得AH²+AC²=HC²，即x²+3a²=（2a-x）²．解得xa，即AH=a，求得HC的值后，利用tan∠ACH=求值．
解答：（1）證明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°．
在等邊△ABD中，∠BAD=60°，
∴∠BAD=∠ABC=60°．
∵E為AB的中點，
∴AE=BE，
在△AEF和△BEC中
，
∴△AEF≌△BEC（ASA）．

（2）解：四邊形BCFD是平行四邊形，
理由是：在△ABC中，∠ACB=90°，E為AB的中點，
∴CE=AB，BE=AB，
∴∠BCE=∠EBC=60°．
又∵△AEF≌△BEC，
∴∠AFE=∠BCE=60°．
又∵∠D=60°，
∴∠AFE=∠D=60°．
∴FC∥BD．
又∵∠BAD=∠ABC=60°，
∴AD∥BC，即FD∥BC．
∴四邊形BCFD是平行四邊形．

（3）解：∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，
∴∠CAH=90°．
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，設BC=a，
∴AB=2BC=2a．
∴AD=AB=2a．
設AH=x，則HC=HD=AD-AH=2a-x，
在Rt△ABC中，AC²=（2a）²-a²=3a²，
AC=a，
在Rt△ACH中，AH²+AC²=HC²，即x²+3a²=（2a-x）²，
解得x=a，
即AH=a，
∴HC=2a-x=2a-a=a，
∴tan∠ACH===．
點評：本題考查了折疊的性質，全等三角形的性質和判定，等邊三角形性質，含30度角的直角三角形性質，勾股定理，平行線的性質和判定等知識點的應用，注意：折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．