Question

等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=4，以BC中點(diǎn)為圓心作與兩腰相切的圓，過(guò)圓上一點(diǎn)F作切線交AB、AC于D、E，則BD•CE的值是（ ）

A．4
B．8
C．12
D．缺條件，不能求

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)切線的性質(zhì)得出：∠2=∠3，∠4=∠5，進(jìn)而得出Rt△BON≌Rt△COM，得出∠1=∠6，求出∠7=∠5+∠6=∠EOC，進(jìn)而即可得出△BOD∽△CEO，利用相似三角形的性質(zhì)得出BD•EC=BO•CO=4即可．
解答：解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=4，以BC中點(diǎn)為圓心作與兩腰相切的圓
∴∠ABC=∠ACB，BO=CO=2，
設(shè)⊙O與AB，AC分別相切于點(diǎn)N，M，過(guò)圓上一點(diǎn)F作切線交AB、AC于D、E，
連接ON，OM，F(xiàn)O，
故∠OND=∠OFD=∠OMC=90°，DN=DF，EF=EM，∠FDO=∠NDO，
可得：∠2=∠3，同理可得出：∠4=∠5，
在Rt△BON和Rt△COM中，
∵，
∴Rt△BON≌Rt△COM（HL），
∴∠1=∠6，
∴∠1+∠3+∠4=∠2+∠5+∠6=90°，
∵∠7=90°-∠2，
∴∠7=∠5+∠6=∠EOC，
又∵∠B=∠C，
∴△BOD∽△CEO，
∴=，
∴BD•EC=BO•CO=4．
故選：A．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及切線的性質(zhì)定理和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出△BOD∽△CEO是解題關(guān)鍵．