Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C作⊙O的切線CM．

（1）求證：∠ACM=∠ABC；

（2）延長BC到D，使BC = CD，連接AD與CM交于點E，若⊙O的半徑為3，ED = 2, 求∆ACE的外接圓的半徑．

Answer 1

證明：（1）連接OC

∵ AB為⊙O的直徑

∴ ∠ACB = 90°

∴ ∠ABC ＋∠BAC = 90°[來源:]

又∵ CM是⊙O的切線

∴ OC⊥CM

∴ ∠ACM ＋∠ACO = 90°   

∵ CO = AO

∴ ∠BAC =∠ACO

∴ ∠ACM =∠ABC

（2）∵ BC = CD

∴ OC∥AD

又∵ OC⊥CE

∴ AD⊥CE

∴ ΔAEC是直角三角形

∴ ΔAEC的外接圓的直徑為AC

又∵ ∠ABC ＋∠BAC = 90°

∠ACM ＋∠ECD = 90°

而∠ABC =∠ACM

∴ ∠BAC =∠ECD

又∠CED =∠ACB = 90°

∴ ΔABC∽ΔCDE

∴ =

而⊙O的半徑為3

∴ AB = 6

∴ =

∴ BC² = 12

∴ BC = 2在RtΔABC中

∴ AC = = 2

∴ ΔAEC的外接圓的半徑為