Question

（2009•衡陽）如圖，直線AB切⊙O于C點(diǎn)，D是⊙O上一點(diǎn)，∠EDC=30°，弦EF∥AB，連接OC交EF于H點(diǎn)，連接CF，且CF=2，則HE的長為    ．

Answer 1

【答案】分析：如圖，連接OE，CE，由EF∥AB得到∠F=∠BCF，由圓周角定理知∠F=∠D=30°，然后可以推出∠BCF=∠D=30°；而根據(jù)切線的性質(zhì)知道∠OCB=90°，進(jìn)一步得到∠OCF=60°，從而得到∠CEF=∠BCF=30°，由此推出∠CEF=∠F，點(diǎn)C是弧ECF的中點(diǎn)，所以根據(jù)垂徑定理得到OC⊥EF，；然后即可證明△OEC是等邊三角形，最后利用EH=OEsin60°即可求出EH．
解答：解：如圖，
連接OE，CE，
∵EF∥AB，
∴∠F=∠BCF，
∴∠F=∠D=30°，
∴∠BCF=∠D=30°；
∵∠OCB=90°，
∴∠OCF=60°，
∴∠CEF=∠BCF=30°，
∴∠CEF=∠F，
則點(diǎn)C是弧ECF的中點(diǎn)，
∴OC⊥EF，，∠EOC=60°；
∵OE=OC，
∴△OEC是等邊三角形，
∴OE=EC=CF=2，
∴EH=OE•sin60°=．
點(diǎn)評：本題利用了切線的概念，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正弦的概念等知識求解，綜合性比較強(qiáng)．