Question

將邊長OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐標系中，頂點O為原點，頂點C、A分別在x軸和y軸上．在OA邊上選取適當?shù)狞cE，連接CE，將△EOC沿CE折疊．

（1）如圖①，當點O落在AB邊上的點D處時，點E的坐標為______；
（2）如圖②，當點O落在矩形OABC內(nèi)部的點D處時，過點E作EG∥x軸交CD于點H，交BC于點G．求證：EH=CH；
（3）在（2）的條件下，設H（m，n），寫出m與n之間的關系式______；
（4）如圖③，將矩形OABC變?yōu)檎�方形，OC=10，當點E為AO中點時，點O落在正方形OABC內(nèi)部的點D處，延長CD交AB于點T，求此時AT的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質以及勾股定理得出BD的長，進而得出AE，EO的長即可得出答案；
（2）利用平行線的性質以及等角對等邊得出答案即可；
（3）根據(jù)H點坐標得出各邊長度，進而利用勾股定理求出m與n的關系即可；
（4）首先得出Rt△ATE≌Rt△DTE進而得出AT=DT．設AT=x，則BT=10-x，TC=10+x，在Rt△BTC中，BT²+BC²=TC²，求出即可．
解答：（1）解：∵將邊長OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐標系中，點O落在AB邊上的點D處，
∴OC=DC=10，
∵BC=8，
∴BD==6，
∴AD=10-6=4，
設AE=x，則EO=8-x，
∴x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴AE=3，
則EO=8-3=5，
∴點E的坐標為：（0，5）； 

（2）證明：（如圖②）由題意可知∠1=∠2．
∵EG∥x軸，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴EH=CH．

（3）解：過點H作HW⊥OC于點W，
∵在（2）的條件下，設H（m，n），
∴EH=HC=m，WC=10-m，HW=n，
∴HW²+WC²=HC²，
∴n²+（10-m）²=m²，
∴m與n之間的關系式為：；

（4）解：（如圖③）連接ET，
由題意可知，ED=EO，ED⊥TC，DC=OC=10，
∵E是AO中點，∴AE=EO．
∴AE=ED．
∵在Rt△ATE和Rt△DTE中，

∴Rt△ATE≌Rt△DTE（HL）．
∴AT=DT．
設AT=x，則BT=10-x，TC=10+x，
在Rt△BTC中，BT²+BC²=TC²，
即（10-x）²+10²=（10+x）²，
解得 x=2.5，
即AT=2.5．
故答案為：（0，5）；．
點評：此題主要考查了翻折變換的性質以及勾股定理和全等三角形的判定與性質等知識，熟練構建直角三角形利用勾股定理得出相關線段長度是解題關鍵．