Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（6，0）、B（﹣2，0）和點C（0，﹣8）．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）設該二次函數(shù)圖象的頂點為M，若點K為x軸上的動點，當△KCM的周長最小時，點K的坐標為　（，0）　；

（3）連接AC，有兩動點P、Q同時從點O出發(fā)，其中點P以每秒3個單位長度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運動，點Q以每秒8個單位長度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運動，當P、Q兩點相遇時，它們都停止運動，設P、Q同時從點O出發(fā)t秒時，△OPQ的面積為S．

①請問P、Q兩點在運動過程中，是否存在PQ∥OC？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；

②請求出S關于t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍；

③設S₀是②中函數(shù)S的最大值，直接寫出S₀的值．

Answer 1

考點：

二次函數(shù)綜合題．

分析：

（1）根據(jù)已知的與x軸的兩個交點坐標和經(jīng)過的一點利用交點式求二次函數(shù)的解析式即可；

（2）首先根據(jù)上題求得的函數(shù)的解析式確定頂點坐標，然后求得點C關于x軸的對稱點的坐標C′，從而求得直線C′M的解析式，求得與x軸的交點坐標即可；

（3）（3）①如果DE∥OC，此時點D，E應分別在線段OA，CA上，先求出這個區(qū)間t的取值范圍，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，求出此時t的值，然后看t的值是否符合此種情況下t的取值范圍．如果符合則這個t的值就是所求的值，如果不符合，那么就說明不存在這樣的t．

②本題要分三種情況進行討論：

當E在OC上，D在OA上，即當0≤t≤1時，此時S=OE•OD，由此可得出關于S，t的函數(shù)關系式；

當E在CA上，D在OA上，即當1＜t≤2時，此時S=OD×E點的縱坐標．由此可得出關于S，t的函數(shù)關系式；

當E，D都在CA上時，即當2＜t＜相遇時用的時間，此時S=S_△AOE﹣S_△AOD，由此可得出S，t的函數(shù)關系式；

綜上所述，可得出不同的t的取值范圍內(nèi)，函數(shù)的不同表達式．

③根據(jù)②的函數(shù)即可得出S的最大值．

解答：

解：（1）設二次函數(shù)的解析式為y=a（x+2）（x﹣6）

∵圖象過點（0，﹣8）

∴a=

∴二次函數(shù)的解析式為y=x²﹣x﹣8；

（2）∵y=x²﹣x﹣8=（x²﹣4x+4﹣4）﹣8=（x﹣2）²﹣

∴點M的坐標為（2，﹣）

∵點C的坐標為（0，﹣8），

∴點C關于x軸對稱的點C′的坐標為（0，8）

∴直線C′M的解析式為：y=﹣x+8

令y=0

得﹣x+8=0

解得：x=

∴點K的坐標為（，0）；

（3）①不存在PQ∥OC，

若PQ∥OC，則點P，Q分別在線段OA，CA上，

此時，1＜t＜2

∵PQ∥OC，

∴△APQ∽△AOC

∴

∵AP=6﹣3t

AQ=18﹣8t，

∴

∴t=

∵t=＞2不滿足1＜t＜2；

∴不存在PQ∥OC；

②分情況討論如下，

情況1：0≤t≤1

S=OP•OQ=×3t×8t=12t²；

情況2：1＜t≤2

作QE⊥OA，垂足為E，

S=OP•EQ=×3t×=﹣+

情況3：2＜t＜

作OF⊥AC，垂足為F，則OF=

S=QP•OF=×（24﹣11t）×=﹣+；

③當0≤t≤1時，S=12t²，函數(shù)的最大值是12；

當1＜t≤2時，S=﹣+，函數(shù)的最大值是；

當2＜t＜，S=QP•OF=﹣+，函數(shù)的最大值為；

∴S₀的值為．

點評：

本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的應用等知識點，綜合性較強，考查學生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．