Question

已知關(guān)于x的方程x²-（k+2）x+2k=0
（1）求證：無論k取任何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；
（2）若等腰△ABC的一邊a=3，另兩邊長b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式的符號進行證明；
（2）注意：分b=c，b=a兩種情況做．

解答：（1）證明：△=[-（k+2）]²-4×1×2k=（k-2）²，
∵無論k取何值，（k-2）²≥0，即△≥0，
∴無論k取任何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；

（2）解：①當b=c時，則△=0，
即（k-2）²=0，
∴k=2，
方程可化為x²-4x+4=0，
∴x₁=x₂=2，
而b=c=2，
∴△ABC的周長=a+b+c=3+2+2=7；

②解：當b=a=3時，
∵x²-（k+2）x+2k=0．
∴（x-2）（x-k）=0，
∴x=2或x=k，
∵另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根，
∴k=b=3，
∴c=2，
∴△ABC的周長=a+b+c=3+3+2=8；
綜上所述，△ABC的周長為7或8．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程總有實數(shù)根應(yīng)根據(jù)判別式來做，兩根互為相反數(shù)應(yīng)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系做，等腰三角形的周長應(yīng)注意兩種情況，以及兩種情況的取舍．