(2004•岳陽)Rt△AOB中直角邊OA、OB分別在x軸、y軸的正半軸上,O為坐標原點,以F為圓心的圓與y軸、直線AB分別相切于O、D(如圖),若AD=2,AE=1.
(1)求BD的長度;
(2)求經(jīng)過A、B兩點的直線的解析式;
(3)求經(jīng)過E、D、O三點的二次函數(shù)的解析式;
(4)判斷(3)中拋物線的頂點是否在直線AB上.

【答案】分析:(1)根據(jù)圓的切線的性質(zhì),連接DF,可得直角三角形,借助于方程,利用勾股定理求得圓的半徑,利用相似求得BD的長;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論可得A,B的坐標,利用待定系數(shù)法可求得經(jīng)過A、B兩點的直線的解析式;
(3)首先求得點D的坐標,將點O,E,D的坐標代入二次函數(shù)的一般式,解方程組即可;
(4)求得拋物線的頂點坐標,再代入解析式,看是否左右相等即可.
解答:解:(1)設⊙F的半徑為r
連接DF,∴BA⊥DF
∵AD切⊙F于D點
∴AD2=AE•AO即22=1•(2r+1)
∴r=又Rt△ADF∽Rt△AOB


∴AB=5,故BD=3;

(2)顯然A(4,0)、B(0,3)
故設解析式為y=kx+3
將(4,0)代入得AB解析式y(tǒng)=-x+3;

(3)過D作DH⊥AO于H,
∴DH=BO
∵△ABO∽△ADH
∴DH=
又∵DH∥BO
,即
∴OH=
∴D點坐標為(
E點坐標(3,0)
設經(jīng)過EDO的函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c.


∴所求函數(shù)解析式為y=-+;

(4)(3)中的頂點為(,).
當x=時,代入y=-x+3=-×+3=
故(3)的頂點不在直線AB上.
點評:此題考查了二次函數(shù)與圓的綜合知識,解題時要注意圓的性質(zhì),待定系數(shù)法的應用,特別是要注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用.
練習冊系列答案
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(2)求證:AD2+BC•BD=AB2;
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