Question

如圖，A、B、C、P四點均在邊長為1的小正方形網(wǎng)格格點上．

（1）判斷△PBA與△ABC是否相似，并說明理由；
（2）求∠BAC的度數(shù)；
（3）在線段BC所經(jīng)過的格點上是否存在一點Q（點P除外），使得以A、C、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請標出點Q的位置，并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）△PBA與△ABC相似，利用勾股定理計算出AB的長，利用由兩邊的比值和一個夾角相等的兩個三角形相似可證明結(jié)論成立；
（2）由（1）可知：∠BAC=∠BPA，因為∠BPA易求，問題得解；
（3）在線段BC所經(jīng)過的格點上存在一點Q（點P除外），使得以A、C、Q為頂點的三角形與△ABC相似．

解答：解：（1）△PBA與△ABC相似，
理由如下：
∵AB=

22+12

=

5

，BC=5，BP=1，
∴

BP

AB

=

BA

BC

=

5

5

，
∵∠PBA=∠ABC，
∴△PBA∽△ABC；
（2）∵△PBA∽△ABC，
∴∠BAC=∠BPA，
∵∠BPA=90°+45°=135°，
∴∠BAC=135°．
（3）存在，理由如下：如圖所示：
∵BC=5，QC=2，AC=

10

，
∴

QC

AC

=

AC

BC

=

10

5

，
又∵∠QCA=∠ACB，
∴△QCA∽△ABC．

點評：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了相似三角形的證明和相似三角形對應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)，本題中分別求AB，BC，BP三邊長是解題的關(guān)鍵．