Question

如圖，已知直線y=2x+2與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=ax²-2ax+c過(guò)點(diǎn)C且與直線y=2x+2交于點(diǎn)A（5，12）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）D為x軸上方拋物線上一點(diǎn)，若△DCO與△DBO的面積相等，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在線段AB上是否存在點(diǎn)P，過(guò)P作x軸的垂線交拋物線于E點(diǎn)，使得以P、B、E為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先由直線AC的解析式確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，在已知點(diǎn)A坐標(biāo)的情況下，利用待定系數(shù)法可確定拋物線的解析式．
（2）點(diǎn)B、C的坐標(biāo)易知，那么OB、OC的倍數(shù)關(guān)系不難求出，那么在△DCO、△DBO中，分別以CO、BO為底進(jìn)行討論，若兩三角形的面積相等，可確定點(diǎn)D到x軸、y軸距離的比例關(guān)系（或邊CO、邊OB上的高的比例關(guān)系），首先根據(jù)這個(gè)關(guān)系設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再代入（1）的拋物線中即可確定該點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）由于PE⊥x軸，即PE∥OB，顯然有∠BPE=∠CBO，若“以P、B、E為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似”，只需在△BPE中找出一個(gè)直角即可，那么分兩種情況討論：
①PB⊥BE，此時(shí)直線BE、直線AC的斜率乘積為-1，先確定直線BE的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式后可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②PE⊥BE，由于PE⊥x軸，那么必有BE∥x軸，因此只需將點(diǎn)B的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，進(jìn)一步可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)；
另外，需要注意的是點(diǎn)P在線段AB上，求出結(jié)果后不要忘記根據(jù)這個(gè)條件對(duì)值進(jìn)行取舍．
解答：解：（1）由直線y=2x+2知：點(diǎn)C（-1，0）、B（0，2）；
拋物線y=ax²-2ax+c過(guò)點(diǎn)C（-1，0）、A（5，12），有：
，解得
∴拋物線的解析式：y=x²-2x-3．

（2）由（1）知：OB=2、OC=1；
由題意知：S_△DBO=S_△DCO，則：
×BO×|x_D|=×CO×|y_D|，即：|y_D|=2|x_D|
∴可以設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（x，2x）或（x，-2x）（x＜-1或x＞3），代入拋物線的解析式中，有：
當(dāng)點(diǎn)D坐標(biāo)為（x，2x）時(shí)，有：x²-2x-3=2x；解得：x₁=2-（舍），x₂=2+；
當(dāng)點(diǎn)D坐標(biāo)為（x，-2x）時(shí)，有：x²-2x-3=-2x；解得：x₃=（舍），x₄=-；
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（2+，4+2）或（-，2）．

（3）∵PE⊥x軸，且BO⊥CO，
∴PE∥BO，即∠CBO=∠BPE；
若以P、B、E為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，那么：
①PB⊥BE，如圖①；
由于直線BE與直線AC垂直，且過(guò)點(diǎn)B（0，2），所以：
直線BE：y=-x+2；
聯(lián)立拋物線的解析式，有：
-x+2=x²-2x-3，解得：x₁=、x₂=（舍）；
將點(diǎn)P橫坐標(biāo)代入直線AC：y=2x+2中，得：y=；
∴P₁（，）．
②PE⊥BE，如圖②；
∵PE∥y軸，且PE⊥BE，
∴BE∥x軸，即 點(diǎn)B、E的縱坐標(biāo)相同；
令x²-2x-3=2，解得：x₁=1-（舍）、x₂=1+；
將點(diǎn)P橫坐標(biāo)代入直線AC：y=2x+2中，得：y=4+2；
∴P₂（1+，4+2）．
綜上，存在符合條件的點(diǎn)P，且坐標(biāo)為（，）或（1+，4+2）．
點(diǎn)評(píng)：該題涉及到利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、三角形面積的解法、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法以及相似三角形的判定和性質(zhì)等重點(diǎn)知識(shí)；（2）題中，能夠由三角形的面積相等得出點(diǎn)D橫縱坐標(biāo)的倍數(shù)關(guān)系是突破題目的關(guān)鍵；（3）題容易漏解，要注意根據(jù)不同情況分類(lèi)討論．