Question

已知一個(gè)矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（11，0），點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、P折疊該紙片，得點(diǎn)B′和折痕OP．設(shè)BP=t．

（Ⅰ）如圖①，當(dāng)∠BOP=30°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）如圖②，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線(xiàn)PB′上，得點(diǎn)C′和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C′恰好落在邊OA上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；
（Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易證得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案；
（Ⅲ）首先過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于E，易證得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′A的長(zhǎng)，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與m=，即可求得t的值．
解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意，∠OBP=90°，OB=6，
在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t．
∵OP²=OB²+BP²，
即（2t）²=6²+t²，
解得：t₁=2，t₂=-2（舍去）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）．

（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，
∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，
∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，
∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，
∴∠OPB+∠QPC=90°，
∵∠BOP+∠OPB=90°，
∴∠BOP=∠CPQ．
又∵∠OBP=∠C=90°，
∴△OBP∽△PCQ，
∴，
由題意設(shè)BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則PC=11-t，CQ=6-m．
∴．
∴m=（0＜t＜11）．

（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于E，
∴∠PEA=∠QAC′=90°，
∴∠PC′E+∠EPC′=90°，
∵∠PC′E+∠QC′A=90°，
∴∠EPC′=∠QC′A，
∴△PC′E∽△C′QA，
∴，
∵PC′=PC=11-t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6-m，
∴AC′==，
∴，
∴，
∴3（6-m）²=（3-m）（11-t）²，
∵m=，
∴3（-t²+t）²=（3-t²+t-6）（11-t）²，
∴t²（11-t）²=（-t²+t-3）（11-t）²，
∴t²=-t²+t-3，
∴3t²-22t+36=0，
解得：t₁=，t₂=，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）．

法二：∵∠BPO=∠OPC′=∠POC′，
∴OC′=PC′=PC=11-t，
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，
則PE=BO=6，OE=BP=t，
∴EC′=11-2t，
在Rt△PEC′中，PE²+EC′²=PC′²，
即（11-t）²=6²+（11-2t）²，
解得：t₁=，t₂=．
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．