如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,?OABC的頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上,頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上,對(duì)角線AC、OB交于點(diǎn)D,且OA、OB的長(zhǎng)是方程x2-12x+32=0的兩根(OA<OB).
(1)求直線AC的函數(shù)解析式;
(2)若點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AC運(yùn)動(dòng),連接OP.設(shè)△OPD的面積為S,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;
(3)若點(diǎn)M是直線AC上一點(diǎn),則在平面上是否存在點(diǎn)N,使以A、B、M、N為頂點(diǎn)四邊形為菱形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】分析:(1)求出OA、OB的長(zhǎng)度,從而得出點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo),然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出點(diǎn)C的坐標(biāo),繼而利用待定系數(shù)法可得出直線AC的解析式;
(2)需要分兩段進(jìn)行討論,①點(diǎn)P在線段AD上,②點(diǎn)P在射線DC上,然后根據(jù)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),根據(jù)三角形的面積公式即可得出S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)根據(jù)菱形四邊相等的性質(zhì),可分兩種情況進(jìn)行討論,①AB=AM,②BM=AB,③AM=AN,從而可得出點(diǎn)M的坐標(biāo),結(jié)合菱形的性質(zhì)可得出點(diǎn)N的坐標(biāo).
解答:解:(1)∵OA、OB的長(zhǎng)x2-12x+32=0的兩根,OA<OB,
∴OA=4,OB=8,點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)B坐標(biāo)為(8,0),
又∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)等于點(diǎn)B的橫坐標(biāo),點(diǎn)C的縱坐標(biāo)等于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的相反數(shù),
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為(8,-4),
設(shè)直線AC的解析式為:y=kx+b,則,
解得:
故直線AC的解析式為:y=-x+4;

(2)由(1)可得OB=8,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得點(diǎn)D坐標(biāo)為(4,0),
即OA=OD,∠OAD=∠ODA=45°,AD=4,
①當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí),此時(shí)t<4;

過點(diǎn)P作PE⊥OA,PF⊥OB,則可得AP=t,
在RT△AEP中,EP=t,即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,
∵點(diǎn)P在直線AC上,
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為:-t+4,
此時(shí)S△OPD=OD×P縱坐標(biāo)=8-t(t<4);
②當(dāng)點(diǎn)P在射線DC上時(shí),此時(shí)t>4

PD=AP-AD=t-4,
在RT△PDM中,PM=DPcos∠DPM=DP×=t-4,
此時(shí)S△OPD=OD×P縱坐標(biāo)=t-8(t>4);

(3)存在符合題意的點(diǎn)N的坐標(biāo).

①當(dāng)AB=AM時(shí),在RT△MAH中,MH=AMcos∠MAH=AMcos∠ADO=2,AH=2,
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,4+2),
又∵M(jìn)N平行且相等AB,
設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為(x,y),則(x+0,y+4)=(-2+8,4+2+0)
∴x=8-2,y=2,
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(8-2,2).
②當(dāng)BM=AB時(shí),

設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(x,-x+4),點(diǎn)N坐標(biāo)為(a,b),
∵四邊形ABMN是菱形,點(diǎn)A(0,4),點(diǎn)B(8,0),
∴(x+0,-x+4+4)=(a+8,b+0),
∴a=x-8,b=-x+8,即點(diǎn)N坐標(biāo)為(x-8,-x+8),
又∵BM=AB=4,
=4,
解得:x=12或x=0(與點(diǎn)A重合,舍去),
故此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4,-4);
③當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí),

設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(x,-x+4),則點(diǎn)N坐標(biāo)為(8-x,x),
∵此時(shí)AM=AN,
即可得:=,
解得:x=,
則此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(,).
綜上可得符合題意的點(diǎn)N的坐標(biāo)為(8-2,2)或(4,-4)或(,);
點(diǎn)評(píng):此題屬于一次函數(shù)綜合題,涉及了菱形的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式及解直角三角形的知識(shí),難點(diǎn)在第三問,關(guān)鍵是先確定點(diǎn)M的位置,注意分類討論,不要漏解,難度較大.
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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),但是點(diǎn)P不與點(diǎn)0、點(diǎn)A重合.連接CP,D點(diǎn)是線段AB上一點(diǎn),連接PD.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))中任意選取一個(gè)點(diǎn),其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
5
29
5
29

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),則AC長(zhǎng)為
5
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如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點(diǎn)A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點(diǎn),PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為( 。

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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在梯形OABC的邊上運(yùn)動(dòng),路徑為O→A→B→C,到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時(shí),求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時(shí),請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

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