Question

6、證明：素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)．

Answer 1

分析：利用反證法，假設(shè)素?cái)?shù)是有限的，假設(shè)素?cái)?shù)只有有限的n個(gè)，最大的一個(gè)素?cái)?shù)是p，設(shè)q為所有素?cái)?shù)之積加上1，那么，q=（ 2×3×5×…×p ）+1，根據(jù)合數(shù)的定義，一定有除1和本身外的因數(shù)，即可得到矛盾，從而求證．

解答：證明：假設(shè)素?cái)?shù)是有限的，假設(shè)素?cái)?shù)只有有限的n個(gè)，最大的一個(gè)素?cái)?shù)是p，
設(shè)q為所有素?cái)?shù)之積加上1，那么，q=（ 2×3×5×…×p ）+1不是素?cái)?shù)，
那么，q可以被2、3、…、p中的數(shù)整除，
而q被這2、3、…、p中任意一個(gè)整除都會(huì)余1，與之矛盾．
所以，素?cái)?shù)是無(wú)限的．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了素?cái)?shù)與合數(shù)的定義，利用了反證法．