Question

已知矩形ABCD中，AB=2，BC=8，問：在BC邊上是否能找到一個點P，使PA⊥PD？如果存在就求出BP的長；如果不存在，請說明理由．如果長度改變，AB=2，BC=4，結(jié)果又如何？

Answer 1

解：①在矩形ABCD中，當AB=2，BC=8時，在BC邊上能找到一個點P，使PA⊥PD．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD=2．
又∵PA⊥PD，
∴∠BPA+∠A=∠BPA+∠CPD=90°，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴=，
=，
解得，BP=4±2；

②在矩形ABCD中，當AB=2，BC=4時，在BC邊上能找到一個點P，使PA⊥PD．
同理，得△ABP∽△PCD，則=，
∵PC=BC-BP=4-BP，
∴=，
解得，BP=2．
分析：根據(jù)矩形的對邊相等、四邊內(nèi)角都是直角的性質(zhì)以及相似三角形（△ABP∽△PCD）的對應邊成比例來求線段BP的長度．
點評：本題考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．矩形的性質(zhì)：①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角．