Question

已知，拋物線y=ax²+bx-2與x軸的兩個交點分別為A（1，0），B（4，0），與y軸的交點為C．
（1）求出拋物線的解析式及點C的坐標；
（2）點P是在直線x=4右側(cè)的拋物線上的一動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與△OCB相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）把A（1，0）和B（4，0）代入拋物線解析式得：
，
②-①×4得：12a=-6，解得a=-，
把a=-代入①，解得b=，
所以方程組的解為：，
∴拋物線解析式為y=-x²+x-2，
令x=0，解得y=2，則C的坐標為（0，-2）；


（2）存在．根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
設(shè)P的坐標為（m，-m²+m-2）（m＞4），
根據(jù)題意得：OA=1，OC=2，OB=4，
則PM=m²-m+2，MA=MO-OA=m-1，
若△BOC∽△AMP，
∴=，即=，
化簡得：m²-6m+5=0，即（m-1）（m-5）=0，
解得：m₁=1（舍去），m₂=5，
則P坐標為（5，-2）；
若△BOC∽△PMA，
∴=，即=，
化簡得：m²-9m+8=0，即（m-1）（m-8）=0，
解得：m₁=1（舍去），m₂=8，
則P的坐標為（8，-14），
綜上，滿足題意的P有兩個，其坐標分別為（5，-2）或（8，-14）．
分析：（1）由A和B兩點在拋物線上，故把兩點坐標代入拋物線解析式中，得到關(guān)于a與b的方程組，求出方程組的解即可得到a與b的值，從而確定出拋物線解析式，然后令求出的解析式中x=0，求出y的值即為C的縱坐標，寫出C的坐標即可；
（2）存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與△OCB相似，理由為：根據(jù)題意化簡圖形，如圖所示，根據(jù)題意分別求出OA，OB及OC的長，設(shè)出P點的橫坐標為m，代入拋物線解析式表示出縱坐標，因縱坐標為負值，求出其縱坐標的相反數(shù)即為PM的長，且用OM-OA表示出AM的長，若三角形相似，根據(jù)對應(yīng)點對應(yīng)不同分兩種情況，由相似三角形對應(yīng)邊成比例列出關(guān)于m的方程，分別求出方程的解即可得到m的值，從而確定出P的坐標．
點評：此題為二次函數(shù)的綜合題，涉及的知識點有相似三角形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，以及拋物線解析式的確定，要求學生借助圖形，利用數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想來解決問題，根據(jù)相似得比例時注意對應(yīng)點要找對．