Question

一張半徑為2的半圓圖紙沿它的一條弦折疊，使其弧與直徑相切，如圖所示，O為半圓圓心，如果切點(diǎn)分直徑之比為3：1，則折痕長(zhǎng)為

1. A.
   3
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   2

Answer 1

C
分析：過O作弦BC的垂線OP，垂足為D，分別與弧的交點(diǎn)為A、G，過切點(diǎn)F作PF⊥半徑OC交OP于P點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理及其推論得到BD=DC，即OP為BC的中垂線，OP必過弧BGC所在圓的圓心，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到PF必過弧BGC所在圓的圓心，則點(diǎn)P為弧BGC所在圓的圓心，根據(jù)折疊的性質(zhì)有⊙P為半徑等于⊙O的半徑，即PF=PG=OE=2，并且AD=GD，由F點(diǎn)分⊙O的直徑為3：1兩部分可計(jì)算出OF=1，在Rt△OPF中，設(shè)OG=x，利用勾股定理可計(jì)算出x，則由AG=PG-AP計(jì)算出AG，可得到DG的長(zhǎng)，于是可計(jì)算出OD的長(zhǎng)，在Rt△OBD中，利用勾股定理計(jì)算BD，即可得到BC的長(zhǎng)．
解答：過O作弦BC的垂線OP，垂足為D，分別與弧的交點(diǎn)為A、G，過切點(diǎn)F作PF⊥半徑OC交OP于P點(diǎn)，如圖，
∵OP⊥BC，
∴BD=DC，即OP為BC的中垂線，
∴OP必過弧BGC所在圓的圓心，
又∵OE為弧BGC所在圓的切線，PF⊥OE，
∴PF必過弧BGC所在圓的圓心，
∴點(diǎn)P為弧BGC所在圓的圓心，
∵弧BAC沿BC折疊得到弧BGC，
∴⊙P為半徑等于⊙O的半徑，即PF=PG=OE=2，并且AD=GD，
∴OG=AP，
而F點(diǎn)分⊙O的直徑為3：1兩部分，
∴OF=1，
在Rt△OPF中，設(shè)OG=x，則OP=x+2，
∴OP²=OF²+PF²，即（x+2）²=1²+2²，解得x=-2，
∴AG=2-（-2）=4-，
∴DG==2-，
∴OD=OG+DG=-2+2-=，
在Rt△OBD中，BD²=OB²+OD²，即BD²=2²-（）²，
∴BD=，
∴BC=2BD=．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合知識(shí)，注意折疊后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等．也考查了垂徑定理、切線的性質(zhì)以及勾股定理．