Question

如圖：菱形PQRS內(nèi)接于矩形ABCD，使得P、Q、R、S為AB、BC、CD、DA上的內(nèi)點(diǎn)．已知PB=15，BQ=20，PR=30，QS=40．若既約分?jǐn)?shù)為矩形ABCD的周長(zhǎng)，求m+n．

Answer 1

解：設(shè)AS=x、AP=y，
由菱形性質(zhì)知PR⊥SQ，且互相平分，這樣得到8個(gè)直角三角形，易知PR與SQ的交點(diǎn)是矩形ABCD的中心．由已知可得其中6個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為15、20、25．由對(duì)稱性知CQ、CR的長(zhǎng)為x、y．則Rt△ASP和Rt△CQR的三邊長(zhǎng)分別為x、y、25，矩形面積等于8個(gè)Rt△的面積之和．則有：
（20+x）（15+y）=6××20×15+2×xy
則有3x+4y=120 ①
又x²+y²=625 ②
得x₁=20x₂=
y₁=15y₂=
當(dāng)x=20時(shí)BC=x+BQ=40這與PR=30不合
故x=y=
∴矩形周長(zhǎng)為2（15+20+x+y）=
即：m+n=677
分析：由菱形性質(zhì)知PR⊥SQ，且互相平分，這樣得到8個(gè)直角三角形，易知PR與SQ的交點(diǎn)是矩形ABCD的中心．由已知可得其中6個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別為15、20、25．由對(duì)稱性知CQ、CR的長(zhǎng)為x、y．則Rt△ASP和Rt△CQR的三邊長(zhǎng)分別為x、y、25，矩形面積等于8個(gè)Rt△的面積之和．設(shè)AS=x、AP=y，即可列出關(guān)于x、y的關(guān)系式，解得x、y即可計(jì)算m+n的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考察額菱形各邊長(zhǎng)相等、對(duì)角線互相垂直的性質(zhì)，本題中根據(jù)x、y的關(guān)系式求x、y的值是解題的關(guān)鍵．