Question

如圖，直線EF將矩形紙片ABCD分成面積相等的兩部分，E、F分別與BC交于點(diǎn)E，與AD交于點(diǎn)F（E，F(xiàn)不與頂點(diǎn)重合），設(shè)AB=a，AD=b，BE=x．
（Ⅰ）求證：AF=EC；
（Ⅱ）用剪刀將紙片沿直線EF剪開后，再將紙片ABEF沿AB對(duì)稱翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底邊重合，直腰落在邊DC的延長(zhǎng)線上，拼接后，下方的梯形記作EE′B′C．
（1）求出直線EE′分別經(jīng)過(guò)原矩形的頂點(diǎn)A和頂點(diǎn)D時(shí)，所對(duì)應(yīng)的x：b的值；
（2）在直線EE′經(jīng)過(guò)原矩形的一個(gè)頂點(diǎn)的情形下，連接BE′，直線BE′與EF是否平行？你若認(rèn)為平行，請(qǐng)給予證明；你若認(rèn)為不平行，請(qǐng)你說(shuō)明當(dāng)a與b滿足什么關(guān)系時(shí)，它們垂直？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由AB=a，AD=b，BE=x，S_梯形ABEF=S_梯形CDFE，結(jié)合梯形的面積公式可證得AF=EC；
（Ⅱ）（1）根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合梯形的性質(zhì)求得x：b的值；
（2）直線EE′經(jīng)過(guò)原矩形的頂點(diǎn)D時(shí)，可證明四邊形BE′EF是平行四邊形，則BE′∥EF；當(dāng)直線EE′經(jīng)過(guò)原矩形的頂點(diǎn)A時(shí)，BE′與EF不平行．
解答：（Ⅰ）證明：∵AB=a，AD=b，BE=x，S_梯形ABEF=S_梯形CDFE，
∴a（x+AF）=a（EC+b-AF），
∴2AF=EC+（b-x）．
又∵EC=b-x，
∴2AF=2EC．
∴AF=EC．

（Ⅱ）解：（1）當(dāng)直線EE′經(jīng)過(guò)原矩形的頂點(diǎn)D時(shí)，如圖（一）
∵EC∥E′B′，
∴=，
由EC=b-x，E′B′=EB=x，DB′=DC+CB′=2a，
得，
∴x：b=．
當(dāng)直線E′E經(jīng)過(guò)原矩形的頂點(diǎn)A時(shí)，如圖（二）
在梯形AE′B′D中，
∵EC∥E′B′，點(diǎn)C是DB′的中點(diǎn)，
∴CE=（AD+E′B′），
即b-x=（b+x），
∴x：b=．

（2）如圖（一），當(dāng)直線EE′經(jīng)過(guò)原矩形的頂點(diǎn)D時(shí)，BE′∥EF，
證明：連接BF，
∵FD∥BE，F(xiàn)D=BE，
∴四邊形FBED是平行四邊形，
∴FB∥DE，F(xiàn)B=DE，
又∵EC∥E′B′，點(diǎn)C是DB′的中點(diǎn)，
∴DE=EE′，
∴FB∥EE′，F(xiàn)B=EE′，
∴四邊形BE′EF是平行四邊形，
∴BE′∥EF．
如圖（二），當(dāng)直線EE′經(jīng)過(guò)原矩形的頂點(diǎn)A時(shí)，顯然BE′與EF不平行，
設(shè)直線EF與BE′交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E′作E′M⊥BC于M，則E′M=a，
∵x：b=，
∴EM=BC=b，
若BE′與EF垂直，則有∠GBE+∠BEG=90°，
又∵∠BEG=∠FEC=∠MEE′，∠MEE′+∠ME′E=90°，
∴∠GBE=∠ME′E，
在Rt△BME′中，tan∠E′BM=tan∠GBE==，
在Rt△EME′中，tan∠ME′E==，
∴=．
又∵a＞0，b＞0，
=，
∴當(dāng)=時(shí)，BE′與EF垂直．
點(diǎn)評(píng)：本題是道根據(jù)平移的性質(zhì)、梯形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合求解的綜合題，解題復(fù)雜，難度大．考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力．