Question

已知：拋物線y=a（x-2）²+b（ab＜0）的頂點為A，與x軸的交點為B，C（點B在點C的左側(cè)）．
（1）直接寫出拋物線對稱軸方程；
（2）若拋物線經(jīng)過原點，且△ABC為直角三角形，求a，b的值；
（3）若D為拋物線對稱軸上一點，則以A，B，C，D為頂點的四邊形能否為正方形？若能，請寫出a，b滿足的關(guān)系式；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)y=a（x-2）²+b直接得出答案；
（2）根據(jù)直線x=2與x軸交于點E，則E（2，0），以及拋物線經(jīng)過原點，得出B（0，0），C（4，0），進而求出AE=BE=EC，當拋物線的頂點為A（2，-2）時，以及當拋物線的頂點為A′（2，2）時求出即可；
（3）根據(jù)B、C關(guān)于點E中心對稱，當A，D也關(guān)于點E對稱，且BE=AE時，四邊形ABDC是正方形，即可求出．

解答：解：（1）拋物線對稱軸方程：直線x=2．（2分）

（2）設(shè)直線x=2與x軸交于點E，則E（2，0）．
∵拋物線經(jīng)過原點，
∴B（0，0），C（4，0）．（3分）
∵△ABC為直角三角形，根據(jù)拋物線的對稱性可知AB=AC，
∴AE=BE=EC，
∴A（2，-2）或（2，2）．
當拋物線的頂點為A（2，-2）時，y=a（x-2）²-2，
把（0，0）代入，得：a=

1

2

，
此時，b=-2．（5分）
當拋物線的頂點為A′（2，2）時，y=a（x-2）²+2，
把（0，0）代入，得：a=-

1

2

，此
時，b=2．
∴a=

1

2

，b=-2或a=-

1

2

，b=2．（7分）

（3）依題意，B、C關(guān)于點E中心對稱，當A，D也關(guān)于點E對稱，且BE=AE時，四邊形ABDC是正方形．
∵A（2，b），
∴AE=|b|，
∴B（2-|b|，0），
把B（2-|b|，0）代入y=a（x-2）²+b，得ab²+b=0，
∵b≠0，
∴ab•b+b=0，
∴b=-ab²，即

ab2

b

=-1，-ab=1，
∴ab=-1．（10分）

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的頂點式的應(yīng)用以及二次函數(shù)的對稱性，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點題型特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點也是難點同學(xué)們應(yīng)重點掌握．