Question

如圖，菱形OABC的邊長為4，∠AOC=60°，垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點(diǎn)M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方）
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）設(shè)△OMN的面積為S，直線l的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（0≤t≤6），求S關(guān)于t的關(guān)系式．
（3）當(dāng)t=

3或3+

3

時(shí)，S值為3

3

．

Answer 1

分析：（1）已知了菱形的邊長，過A作AD⊥OC于D，在直角三角形OAD中，可根據(jù)OA的長和∠AOC的度數(shù)求出OD和AD的長，即可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，將A的坐標(biāo)向右平移4個(gè)單位即可得出B點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）當(dāng)l過A點(diǎn)時(shí)，ON=OD=2，因此t=2；當(dāng)l過C點(diǎn)時(shí)，ON=OC=4，此時(shí)t=4．因此本題可分三種情況：
①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，直線l與OA、OC兩邊相交，此時(shí)ON=t，MN=

3

t，根據(jù)三角形的面積公式即可得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．
②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，直線l與AB、OC兩邊相交，此時(shí)三角形OMN中，NM的長與AD的長相同，而ON=t，由此就不難得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．
③當(dāng)4＜t≤6時(shí)，直線l與AB、BC兩邊相交，可設(shè)直線l與x軸交點(diǎn)為H，那么三角形OMN可以MN為底，OH為高來計(jì)算其面積．OH的長為t，而MN的長可通過MH-NH來求得，其中，MH可用OH和∠MOH的正切值求出，HN可用CH的長和∠BCH的正切值求出．據(jù)此可得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）根據(jù)（2）中各函數(shù)的性質(zhì)和各自的自變量的取值范圍可得出S=3

3

時(shí)對(duì)應(yīng)的t的值．

解答：解：（1）∵四邊形OABC為菱形，菱形OABC的邊長為4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），OA=AB=BC=CO=4．
過點(diǎn)A作AD⊥OC于D．
∵∠AOC=60°，
∴OD=2，AD=2

3

．
∴A（2，2

3

），B（6，2

3

）．

（2）直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)與菱形OABC的兩邊相交有三種情況：
①0≤t≤2時(shí)，直線l與OA、OC兩邊相交，（如圖①）．

∵M(jìn)N⊥OC，
∴ON=t．
∴MN=ONtan60°=

3

t．
∴S=

1

2

ON•MN=

3

2

t²．
②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，直線l與AB、OC兩邊相交，（如圖②）．

S=

1

2

ON•MN=

1

2

×t×2

3

=

3

t．
③當(dāng)4＜t≤6時(shí)，直線l與AB、BC兩邊相交，（如圖③）．

設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)H．
∵M(jìn)N=2

3

-

3

（t-4）=6

3

-

3

t，
∴S=

1

2

OH•MN=

1

2

t（6

3

-

3

t）
=-

3

2

t²+3

3

t．

（3）由（2）知，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，S=

3

2

t²=3

3

，
解得：t=±

6

（都不合題意舍去），
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，S=

3

t=3

3

，
解得；t=3，
當(dāng)4＜t≤6時(shí)，S=-

3

2

t²+3

3

t=3

3

，
解得：t=3+

3

或t=3-

3

＜4（不合題意舍去），
綜上所述：當(dāng)t=3或3+

3

時(shí)，S值為3

3

．
故答案為：3或3+

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及一元二次方程的解法和菱形的性質(zhì)、圖形面積的求法、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)．注意分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)數(shù)形方法的應(yīng)用．