Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點．
（1）求b、c的值；
（2）P為拋物線上的點，且滿足S_△PAB=8，求P點的坐標；
（3）設(shè)拋物線交y 軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最�。咳舸嬖�，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c與x軸的兩個交點分別為A（-1，0），B（3，0），
∴，
解之，得，
∴所求拋物線的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）設(shè)點P的坐標為（x，y），由題意，得
S_△ABC=×4×|y|=8，
∴|y|=4，
∴y=±4，
當y=4時，x²-2x-3=4，
∴x₁=1+，x₂=1-，
當y=-4時，x²-2x-3=-4，
∴x=1，
∴當P點的坐標分別為、、（1，-4）時，S_△PAB=8；

（3）在拋物線y=x²-2x-3的對稱軸上存在點Q，使得△QAC的周長最�。�
∵AC長為定值，
∴要使△QAC的周長最小，只需QA+QC最小．
∵點A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點是B（3，0），
∴由幾何知識可知，Q是直線BC與對稱軸x=1的交點，
拋物線y=x²-2x-3與y軸交點C的坐標為（0，-3），設(shè)直線BC的解析式為y=kx-3．
∵直線BC過點B（3，0），
∴3k-3=0，
∴k=1．
∴直線BC的解析式為y=x-3，
∴當x=1時，y=-2．
∴點Q的坐標為（1，-2）．
分析：（1）拋物線y=x²+bx+c與x軸的兩個交點分別為A（-1，0），B（3，0），求得b，c值；（2）設(shè)點P的坐標為（x，y），求得y值，分別代入從而求得點P的坐標；（3）由AC長為定值，要使△QAC的周長最小，只需QA+QC最�。�又能求得由幾何知識可知，Q是直線BC與對稱軸x=1的交點，再求得BC的直線，從而求得點Q的坐標．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，（1）拋物線y=x²+bx+c與x軸的兩個交點分別為A（-1，0），B（3，0），很容易得到b，c值；（2）設(shè)點P的坐標為（x，y），求得y值，分別代入從而求得點P的坐標；（3）由AC長為定值，要使△QAC的周長最小，只需QA+QC最�。�又能求得由幾何知識可知，Q是直線BC與對稱軸x=1的交點，再求得BC的直線，從而求得點Q的坐標．本題有一定難度，需要考慮仔細，否則漏解．