Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與y軸交于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作x軸的平行線BC，交拋物線于點(diǎn)C，連接AC.現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從0，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒4個(gè)單位的速度沿OA向終點(diǎn)A移動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位速度沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，線段OC，PQ相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥OA，交CA于點(diǎn)E，射線QE交x輔于點(diǎn)F．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q移動(dòng)的時(shí)間為t（單位：秒）．
【小題1】求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
【小題2】當(dāng)O<t<時(shí)’△PQF的面積是否為定值？若是，求出此定值，若不是，說明理由
【小題3】當(dāng)t為何值時(shí)，△PQF為等腰三角形？請(qǐng)寫出解答過程．

Answer 1

【小題1】
令y=0,得：x²-8x-180=0
即：（x-18）(x+10)=0
所以：x₁=18；x₂=-10
所以：A（18，0）                                     （1分）
在中，令x=10得y=10
即：B（0，-10）                                      （2分）
由于BC//OA
故得：
X=8或x=0,
即：C（8，10）                                       （3分）
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，）
于是，A（18，0），B(0,-10), C(8,-10),頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，）
【小題2】設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒，則OP=4t.CQ=t,0<t<4.5               (5分
說明點(diǎn)P在線段OA上，且不與點(diǎn)O，A重合。
由于QC//OP知 ∆QDC~∆PDO, 故
所以：AF=4t=OP
所以：PF=PA+AF=PA+OP=18                          (6分)
又點(diǎn)Q到直線PF的距離d=10
所以S_∆PQF="1/2" PF×d="1/2" ×18×10=90
于是∆PQF的面積總為90；                                （8分）
【小題3】由上知P(4t,0) ,F(18+4t,0);
Q(8-t,-10),0<t<4.5
構(gòu)造直角三角形后易得.

                (9分)
①若FP=PQ,即
得：
因?yàn)椋?<t<4.5
所以：
(不合題意，舍去)                         （10分）
②若PQ=QF,即，無(wú)0<t<4.5的t 的滿足條件。（11分）
③若PF=QF,即。得
5t+10=

又0<t<4.5,
所以
綜上所述，當(dāng)時(shí)，∆PQR是等腰三角形。           （12分）解析:
（1）已知拋物線的解析式，當(dāng)x=0時(shí)，可求得B的坐標(biāo)；由于BC∥OA，把B的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式，可求出C的坐標(biāo)；當(dāng)y=0時(shí)，可求出A的坐標(biāo)．求頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)用公式法或配方法都可以；
（2）當(dāng)0＜t＜時(shí)，根據(jù)OA=18，P點(diǎn)的速度為4單位/秒，可得出P點(diǎn)總在OA上運(yùn)動(dòng)．△PQF中，Q到PF的距離是定值即OB的長(zhǎng)，因此只需看PF的值是否有變化即可得出S_△PQF是否為定值，已知QC∥PF，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得出：，因此可得出OP=AF，那么PF=PA+AF=PA+OP=OA，由于OA的長(zhǎng)為定值即PF的長(zhǎng)為定值，因此△PQF的面積是不會(huì)變化的．其面積的值可用OA•OB求出；
（4）可先用t表示出P，F(xiàn)，Q的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式得出PF²，PQ²，F(xiàn)Q²，進(jìn)而可分三種情況進(jìn)行討論：
①△PFQ以PF為斜邊．則PF²=PQ²+FQ²，可求出t的值．
②△PFQ以PQ為斜邊，方法同①
③△PFQ以FQ為斜邊，方法同①．
綜合三種情況即可得出符合條件的t的值