Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，BD是⊙O的直徑， AD與BC交于點E，
F在DA的延長線上，且BF=BE．

【小題1】試判斷BF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由
【小題2】若BF=5，cosC=，求⊙O的直徑

Answer 1

【小題1】BF與⊙O相切，連接OB、OA，連接BD（1分），
∵AD⊥AB，∴∠BAD=90°，
∴BD是直徑，∴BD過圓心
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D，
∵AD⊥AB，
∴∠ABD+∠D=90°，
∵AF=AE，
∴∠EBA=∠FBA，
∴∠ABD+∠FBA=90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O切線（4分）；
【小題2】∵∠C=∠D，cos∠C=，
∴cos∠D=，
∵BF=5，
∴，
∴，
∴BD=×5=，
∴直徑為（8分）．解析:
（1）連接OB、OA或連接BD，由AB=AC，則∠ABC=∠C，由BF=BE，則∠EBA=∠FBA，從而得出∠ABD+∠FBA=90°，即OB⊥BF，則BF是⊙O切線；
（2）由（1）得∠C=∠D，再由cos∠C=，得，則，從而求出BD．