Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，O為AB上一點，以O為圓心，OB長為半徑的圓，交BC邊于點D，與AC邊相切于點E．

（1）求證：BE平分∠ABC；

（2）若CD：BD=1：2，AC=4，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由切線的性質(zhì)可知OE⊥AC，從而可證明OE∥BC，由平行線的性質(zhì)可知∠OEB=∠EBC，由OE=OB可知∠OEB=∠OBE，于是得到∠OBE=∠EBC；

（2）過O作OF⊥BC于點F，連接OD，OE．（2）如圖2所示：過O作OF⊥BC于點F，連接OD，OE．由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知：DF=BF，由CD：BD=1：2可知CD=DF=FB，然后根據(jù)由三角是直角的四邊形為矩形可知四邊形OECF為矩形，于是得到CF=EO，從而可證明△ODB為等邊三角形，然后依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得BC=，故此可求得CD=．

（1）證明：連接OE．

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE．

∵AC與⊙O相切，

∴OE⊥AC，即∠OEA=90°．

∴∠C=∠OEA=90°，

∴OE∥BC．

∴∠OEB=∠EBC．

∴∠OBE=∠EBC．

∴BE平分∠ABC．

（2）如圖2所示：過O作OF⊥BC于點F，連接OD，OE．

∵OD=OB，OF⊥BD，

∴DF=BF．

∵CD：BD=1：2，

∴CD=DF=FB．

∵∠OEC=∠C=∠OFC=90°，

∴四邊形OECF為矩形．

∴CF=EO．

∴OE=BD=OD=OB．

∴△ODB為等邊三角形．

∴∠ABC=60°．

∵AC=4，

∴BC=．

∴CD=×BC=．