Question

如圖，已知拋物線(xiàn)交x軸的正半軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B.

1.求直線(xiàn)AB的解析式；

2.設(shè)P（x，y）（x>0）是直線(xiàn)y = x上的一點(diǎn)，Q是OP 的中點(diǎn)（O是原點(diǎn)），以PQ為對(duì)角線(xiàn)作正方形PEQF，若正方形PEQF與直線(xiàn)AB有公共點(diǎn)，求x的取值范圍；

3.在（2）的條件下，記正方形PEQF與△OAB公共部分的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并探究S的最大值．

 

Answer 1

【答案】

 

1.對(duì)于，令x=0，得y=4，即B（0，4）；…

令y=0，即，解得：x₁ = —2，x₂ = 4，即A（4，0）

設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y = kx + b，

把A（4，0），B（0，4）分別代入上式，得

，解得：k = —1，b = 4，

∴ 直線(xiàn)AB的解析式為y = —x + 4。  

2.當(dāng)點(diǎn)P（x，y）在直線(xiàn)AB上時(shí)，由x = —x + 4，得：x = 2，

當(dāng)點(diǎn)Q在直線(xiàn)AB上時(shí)，依題意可知Q（，），由，得：x = 4，

∴ 若正方形PEQF與直線(xiàn)AB有公共點(diǎn)，則x的取值范圍為2≤x≤4；

3.當(dāng)點(diǎn)E（x，）在直線(xiàn)AB上時(shí)，，解得，

① 當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)AB分別與PE、PF交于點(diǎn)C、D，此時(shí)PC = x—(—x+4) = 2x—4，

∵ PD = PC，

∴ S_△PCD =

∴

∵，

∴ 當(dāng)時(shí)，

② 當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)AB分別與QE、QF交于點(diǎn)M、N，此時(shí)，

∵ QM = QN，

∴ S_△QMN=

即，

其中，當(dāng)時(shí)，

綜合①、②，當(dāng)時(shí)，

【解析】

1.拋物線(xiàn)的解析式中，令x=0可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，令y=0可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)AB的解析式；

2.可分別求出當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q在直線(xiàn)AB上時(shí)x的值，即可得到所求的x的取值范圍；

3.此題首先要計(jì)算出一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：即直線(xiàn)AB過(guò)E、F時(shí)x的值（由于直線(xiàn)AB與直線(xiàn)OP垂直，所以直線(xiàn)AB同時(shí)經(jīng)過(guò)E、F），此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，），代入直線(xiàn)AB的解析式即可得到x=；

①當(dāng)2≤x＜時(shí)，直線(xiàn)AB與PE、PF相交，設(shè)交點(diǎn)為C、D；那么重合部分的面積為正方形QEPF和等腰Rt△PDC的面積差，由此可得到關(guān)于S、x的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍求出S的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值；

②當(dāng)≤x≤4時(shí)，直線(xiàn)AB與QE、QF相交，設(shè)交點(diǎn)為M、N；此時(shí)重合部分的面積為等腰Rt△QMN的面積，可參照①的方法求出此時(shí)S的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值；

綜合上述兩種情況，即可比較得出S的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值．