Question

閱讀以下材料：

1

2×3

=

1

2

-

1

3

； 

1

2×4

=

1

2

(

1

2

-

1

4

)； 

1

3×6

=

1

3

(

1

3

-

1

6

)；

1

1×5

=

1

4

(

1

1

-

1

5

)…
（1）觀察以上式子，其規(guī)律可用

1

n×(n+k)

=

1

k

(

1

n

-

1

n+k

)

表示
（2）根據(jù)以上規(guī)律，若有理數(shù)a、b滿足|a-1|+|b-3|=0，試求：

1

ab

+

1

(a+2)(b+2)

+

1

(a+4)(b+4)

+

1

(a+6)(b+6)

+…+

1

(a+100)(b+100)

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中所給的式子分析可得出：分子都是1，括號(hào)前分?jǐn)?shù)的分母是n+k-n=k，括號(hào)里的式子是

1

n

-

1

n+k

；
（2）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)結(jié)合|a-1|+|b-3|=0，先求出a=1，b=3，再代入后面的式子運(yùn)用（1）中的規(guī)律求解即可．

解答：解：（1）其規(guī)律可用

1

n×(n+k)

=

1

k

(

1

n

-

1

n+k

)表示；
（2）∵|a-1|+|b-3|=0，
∴a=1，b=3；
∴

1

ab

+

1

(a+2)(b+2)

+

1

(a+4)(b+4)

+

1

(a+6)(b+6)

+…+

1

(a+100)(b+100)

=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

101×103

=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

5

-

1

7

)+…+

1

2

(

1

101

-

1

103

)
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+

1

7

+…-

1

103

)
=

1

2

×（1-

1

103

）
=

1

2

×

102

103

=

51

103

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)字的變化類，通過(guò)分析、總結(jié)、歸納尋找規(guī)律型，一般是從所給的數(shù)據(jù)和運(yùn)算方法進(jìn)行分析，從特殊值的規(guī)律上總結(jié)出一般性的規(guī)律．