Question

如圖，正比例函數(shù)y₁=k₁x的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點，其中點A的坐標為（1，2）．
（1）分別求出這兩個函數(shù)的表達式；
（2）請你觀察圖象，寫出y₁＞y₂時，x的取值范圍；
（3）在y軸上是否存在點P，使△AOP為等腰三角形？若存在，請你直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設直線方程為y₁=k₁x，反比例函數(shù)y=

k2

x

，兩圖象都經過點A，解得k₁和k₂，
（2）解得兩交點的坐標，觀察圖象寫出x的取值范圍，
（3）存在4種情況的點P，OP為腰和底兩種情況，分別求出OP．

解答：（1）解：∵y₁=k₁x過點A（1，2），
∴k₁=2．（2分）
∴正比例函數(shù)的表達式為y₁=2x．（3分）
∵反比例函數(shù)過點A（1，2），
∴k₂=2．（5分）
∴反比例函數(shù)的表達式為y=

2

x

．（6分）

（2）-1＜x＜0或x＞1．（8分）

（3）∵點A的坐標為（1，2），
∴OA=

5

，
當OA為腰時，OA=OP₂=

5

，P₂點坐標為（0，4），
當AP₁=OA=

5

，可知P₁坐標為（0，

5

），
當OA=OP₃=

5

時，可得P₃坐標為（0，-

5

）
由圖可知，P₁（0，

5

），P₂（0，-

5

），P₃（0，-4），
當OA為底時，OP₄=

1 2 OA

cosAOP4

=

5

4

，
可知P₄（0，

5

4

），
故P₁（0，

5

），P₂（0，-

5

），P₃（0，-4），P₄（0，

5

4

）．（12分）

點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)y=

k

x

中k的幾何意義．這里體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．