Question

（2007•海南）如圖，直線y=-x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，已知二次函數(shù)的圖象經過點A、C和點B（-1，0）．
（1）求該二次函數(shù)的關系式；
（2）設該二次函數(shù)的圖象的頂點為M，求四邊形AOCM的面積；
（3）有兩動點D、E同時從點O出發(fā)，其中點D以每秒個單位長度的速度沿折線OAC按O?A?C的路線運動，點E以每秒4個單位長度的速度沿折線OCA按O?C?A的路線運動，當D、E兩點相遇時，它們都停止運動．設D、E同時從點O出發(fā)t秒時，△ODE的面積為S．
①請問D、E兩點在運動過程中，是否存在DE∥OC，若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；
②請求出S關于t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
③設S是②中函數(shù)S的最大值，那么S=______．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據直線AC的解析式求出A、C兩點的坐標，然后根據A、B、C三點的坐標用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（2）根據拋物線的解析式可求出M點的坐標，由于四邊形OAMC不是規(guī)則的四邊形，因此可過M作x軸的垂線，將四邊形OAMC分成一個直角三角形和一個直角梯形來求解．
（3）①如果DE∥OC，此時點D，E應分別在線段OA，CA上，先求出這個區(qū)間t的取值范圍，然后根據平行線分線段成比例定理，求出此時t的值，然后看t的值是否符合此種情況下t的取值范圍．如果符合則這個t的值就是所求的值，如果不符合，那么就說明不存在這樣的t．
②本題要分三種情況進行討論：
當E在OC上，D在OA上，即當0＜t≤1時，此時S=OE•OD，由此可得出關于S，t的函數(shù)關系式；
當E在CA上，D在OA上，即當1＜t≤2時，此時S=OD×E點的縱坐標．由此可得出關于S，t的函數(shù)關系式；
當E，D都在CA上時，即當2＜t＜相遇時用的時間，此時S=S_△AOE-S_△AOD，由此可得出S，t的函數(shù)關系式；
綜上所述，可得出不同的t的取值范圍內，函數(shù)的不同表達式．
③根據②的函數(shù)即可得出S的最大值．
解答：解：（1）令y=0，則x=3，
∴A（3，0），C（0，4），
∵二次函數(shù)的圖象過點C（0，4），
∴可設二次函數(shù)的關系式為y=ax²+bx+4．
又∵該函數(shù)圖象過點A（3，0），B（-1，0），
∴，
解得a=-，b=．
∴所求二次函數(shù)的關系式為y=-x²+x+4．

（2）∵y=-x²+x+4
=-（x-1）²+
∴頂點M的坐標為（1，）
過點M作MF⊥x軸于F
∴S_{四邊形AOCM}=S_△AFM+S_梯形FOCM
=×（3-1）×+×（4+）×1
=10
∴四邊形AOCM的面積為10．

（3）①不存在DE∥OC
∵若DE∥OC，則點D，E應分別在線段OA，CA上，此時1＜t＜2，在Rt△AOC中，AC=5．
設點E的坐標為（x₁，y₁）
∴=，
∴
∵DE∥OC，
∴
∴
∵t=＞2，不滿足1＜t＜2．
∴不存在DE∥OC．
②根據題意得D，E兩點相遇的時間為（秒）
現(xiàn)分情況討論如下：
（�。┊�0＜t≤1時，S=×t•4t=3t²；
（ⅱ）當1＜t≤2時，設點E的坐標為（x₂，y₂）
∴，
∴
∴S=×t×=-t²+t；
（ⅲ）當2＜t＜時，
設點E的坐標為（x₃，y₃），類似ⅱ可得
設點D的坐標為（x₄，y₄）
∴，
∴
∴S=S_△AOE-S_△AOD
=×3×-×3×
=-t+．
③當0＜t≤1時，S=×t•4t=3t²，函數(shù)的最大值是3；
當1＜t≤2時，S=-t²+t．函數(shù)的最大值是：，
當2＜t＜時，S=-t+，0＜S＜．
∴S=．
點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的應用等知識點，綜合性較強，考查學生分類討論，數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．