Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+bx-2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；
（3）點(diǎn)M（m，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MC+MD的值最小時(shí)，求m的值．
[注：拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）．]．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以將點(diǎn)A代入函數(shù)解析式即可求得；
（2）由函數(shù)解析式可以求得其與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得AB、BC、AC的長(zhǎng)，由勾股定理的逆定理可得三角形的形狀；
（3）首先可求得二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再求得C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，求得直線C′D的解析式，與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是m的值．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（-1，0）在拋物線y=

1

2

x²+bx-2上，
∴

1

2

×（-1）²+b×（-1）-2=0，b=-

3

2

∴拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

3

2

x-2
y=

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

（x²-3x-4）=

1

2

（x-

3

2

）²-

25

8

，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3

2

，-

25

8

）．（4分）

（2）當(dāng)x=0時(shí)y=-2，
∴C（0，-2），OC=2．
當(dāng)y=0時(shí)，

1

2

x²-

3

2

x-2=0，
∴x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0）．（6分）
∴OA=1，OB=4，AB=5．
∵AB²=25，AC²=OA²+OC²=5，BC²=OC²+OB²=20，
∴AC²+BC²=AB²．
∴△ABC是直角三角形．  （8分）

（3）作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，則C′（0，2），OC′=2
連接C′D交x軸于點(diǎn)M，
根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC+MD的值最�。�  （9分）
解法一：設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E．
∵ED∥y軸，
∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM．
∴

OM

EM

=

OC′

ED

∴

m

3 2 -m

=

2

25 8

，
∴m=

24

41

12分
解法二：設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+n，
則

n=2 3 2 k+n=- 25 8

，
解得n=2，k=-

41

12

．
∴y=-

41

12

x+2．
∴當(dāng)y=0時(shí)，-

41

12

x+2=0，x=

24

41

．
∴m=

24

41

．  （12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求解析式，考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．