Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D，E是⊙O上一點(diǎn)，且∠AED=45°，DE交直徑AB于點(diǎn)F．
（1）試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若AE=2，sin∠ADE=，求OA及EF的長．

Answer 1

解：（1）CD與⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OD，如圖，
∵∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，
∴OD⊥AB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，
∴OD⊥DC，
∴CD為⊙O的切線；
（2）作AH⊥EF于H，連結(jié)BE，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
∵∠ADE=∠ABE，
∴sin∠ADE=sin∠ABE==，
而AE=2，
∴AB=4，
∴OA=2，
在Rt△AEH中，∠AEH=45°，
∴AH=EH=AE=，
∵△AHF∽△DOF，
∴=，即=，
∴OF=2HF，
∴AF=OA-OF=OA-2HF=2-2HF，
在Rt△AHF中，∵AH²+FH²=AF²，
∴（）²+HF²=（2-2HF）²，
∴HF=或HF=（舍去），
∴EF=EH+HF=+=．
分析：（1）連結(jié)OD，根據(jù)圓周角定理得∠AOD=2∠AED=90°，則OD⊥AB，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB∥DC，所以O(shè)D⊥DC，則根據(jù)切線的判定定理得到CD為⊙O的切線；
（2）作AH⊥EF于H，連結(jié)BE，根據(jù)圓周角定理得∠ADE=∠ABE，則sin∠ADE=sin∠ABE==，由AE=2得到AB=4，所以O(shè)A=2，在Rt△AEH中，∠AEH=45°，可計(jì)算出AH=EH=AE=，然后證明△AHF∽△DOF，利用相似比得到OF=2HF，則AF=OA-OF=2-2HF，在Rt△AHF中利用勾股定理計(jì)算出FH，再利用EF=EH+HF計(jì)算．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了平行四邊形的性質(zhì)和解直角三角形．