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如圖，已知△ABC內接于⊙O，AD是⊙O的直徑，點E、F分別在AB、AC的延長線上．EF交⊙O于點M、N，交AD于點H，H是OD的中點，*=，EH-HF=2．設∠ACB=a ，tana =，EH和HF是方程x2-(k+2)x+4k=0的兩個實數根．

(1)求EH和HF的長；

(2)求BC的長．

 

答案：
解析：

(1)依題意，及一元二次方程根與系數關系，

得D=[-(k+2)]2-4×4k＞0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

EH+HF=k+2，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

EH·HF=4k＞0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

又EH-HF=2．　　 ④　

由②、③、④得k=12．

當k=12時，①成立，把k=12代入原方程解得x1=8，x2=6．

∴　EH=8，HF=6．

(2)連結BD．∴　∠ADB=∠a．

∵　，

∴　AD⊥EF，即∠AHE=∠AHF=90°．

∴　∠E=∠ADB=∠a．

在Rt△AEH中，tanE= =tana=，

又EH=8，∴　AH=6．

由勾股定理，得AE=10，AF=．

∵　tanADB= =tana=．

設AB=3 m，則BD=4 m．

∴　AD=5 m．

∵　H是OD的中點，∴　AD=8，AB=．

∵　∠E=∠a，∠BAC=∠FAE，

∴　△ABC∽△AFE．∴　．

∴　BC=．

 


練習冊系列答案
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科目：初中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知△ABC內接于⊙O，∠C=45°，AB=4，則⊙O的半徑為
 
．

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科目：初中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知△ABC內接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于點D，過D作⊙O的切線與AC的延長線交于點E．
（1）求證：BC∥DE；
（2）若AB=3，BD=2，求CE的長；
（3）在題設條件下，為使BDEC是平行四邊形，△ABC應滿足怎樣的條件（不要求證明）．

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科目：初中數學 來源： 題型：

（2013•樊城區(qū)模擬）如圖，已知△ABC內接于⊙O，弦AD交BC于E，過點D的切線MN交直線AB于M，交直線AC于N．
（1）求證：AE•DE=BE•CE；
（2）連接DB，CD，若MN∥BC，試探究BD與CD的數量關系；
（3）在（2）的條件下，已知AB=6，AN=15，求AD的長．

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科目：初中數學 來源： 題型：

如圖，已知△ABC內接于⊙O，AE平分∠BAC，且AD⊥BC于點D，連接OA．
求證：∠OAE=∠EAD．

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科目：初中數學 來源： 題型：

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