已知拋物線y=4x2-7x+4與直線y=x+b相交于A、B兩點.
(1)求b的取值范圍;
(2)當(dāng)AB=2時,求b的值;
(3)設(shè)坐標(biāo)原點為O,在(2)的條件下,求△AOB的面積.
分析:(1)根據(jù)交點的意義可得4x2-7x+4=x+b,整理,得4x2-8x+(4-b)=0,拋物線與直線有兩個交點,即方程有兩個不相等的實數(shù)根,即△=(-8)2-16(4-b)=16b>0,所以b>0.
(2)設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2),x1<x2,根據(jù)x1、x2是方程4x2-8x+(4-b)=0的兩根,利用根與系數(shù)的關(guān)系可知
|x1-x2|=
b
,根據(jù)題意可知y2-y1=x2-x1,所以AB=
(x2-x1)2+(y2-y1)2
=
2
|x2-x1|=
2b
=2
,即b=2.
(3)由(2)可知,直線的解析式為y=x+2,設(shè)直線與y軸交于C點,則C點的坐標(biāo)為(0,2),OC=2,易知x2>x1>0,用點的坐標(biāo)表示出線段的長度,并表示出S△AOC,S△BOC,可知S△AOB=S△AOC-S△BOC=
b
=
2
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)根據(jù)題意,得4x2-7x+4=x+b.(1分)
整理,得4x2-8x+(4-b)=0.(2分)
∵拋物線與直線有兩個交點,
∴△=(-8)2-16(4-b)=16b>0.
∴b>0(3分).

(2)不妨設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2),x1<x2,如圖
∵x1、x2是方程4x2-8x+(4-b)=0的兩根
x1+x2=2,x1x2=
4-b
4
(4分)
|x2-x1|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
22-(4-b)
=
b
(5分)
∴y1=x1+b,y2=x2+b
∴y2-y1=x2-x1(6分)
AB=
(x2-x1)2+(y2-y1)2
=
2
|x2-x1|=
2b
=2

∴b=2.(7分)

(3)由(2)可知,直線的解析式為y=x+2,設(shè)直線與y軸交于C點,
則C點的坐標(biāo)為(0,2),OC=2,易知x2>x1>0.
S△AOC=
1
2
OC•x1
,S△BOC=
1
2
OC•x2
(8分)
S△AOB=S△BOC-S△AOC=
1
2
OC•(x2-x1)
(9分)
=
1
2
×2|x2-x1|=|x2-x1|=
b

S△AOB=
2
(10分).
點評:本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是能利用一元二次方程解的意義和根的判別式求得b的取值范圍,并會用根與系數(shù)的關(guān)系求得交點之間的關(guān)系,能熟練地運用數(shù)形結(jié)合的思想求得幾何圖形的面積.
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