如圖，若等邊△A1B1C1內(nèi)接于等邊△ABC的內(nèi)切圓，則數(shù)學公式的值為________．


分析：由于△ABC、△A1B1C1都是等邊三角形，因此它們的外心與內(nèi)心重合；可過內(nèi)切圓的圓心O分別作AB、A1B1的垂線，連接OA、OA1；在構(gòu)建的含特殊角的直角三角形中，用⊙O的半徑分別表示出AB、A1B1的長，進而可求出它們的比值．
解答：解：∵△A1B1C1和△ABC都是等邊三角形，
∴它們的內(nèi)心與外心重合．
如圖，過點O作AB的垂線，交A1B1于E，連接OA、OA1．
設(shè)圓O的半徑為R．
Rt△OAD中，∵∠OAD=30°，OD=R，
∴AD=R，即AB=2R．
Rt△OA1E中，∵∠OA1E=30°，OA1=R，
∴A1E=R，即A1B1=R．
∴==．
故答案為．
點評：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心的性質(zhì)，等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心、旁心重合，稱為等邊三角形的中心（五心合一）．此題用等邊△ABC的內(nèi)切圓的半徑分別表示AB、A1B1的長是解題的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：閱讀理解

閱讀下面資料：
小明遇到這樣一個問題：如圖1，對面積為a的△ABC逐次進行以下操作：分別延長AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，順次連接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，記其面積為S1，求S1的值．
小明是這樣思考和解決這個問題的：如圖2，連接A1C、B1A、C1B，因為A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，根據(jù)等高兩三角形的面積比等于底之比，所以S△A1BC=S△B1CA=S△C1AB=2S△ABC=2a，由此繼續(xù)推理，從而解決了這個問題．

（1）直接寫出S1=
19a
19a
（用含字母a的式子表示）．
請參考小明同學思考問題的方法，解決下列問題：
（2）如圖3，P為△ABC內(nèi)一點，連接AP、BP、CP并延長分別交邊BC、AC、AB于點D、E、F，則把△ABC分成六個小三角形，其中四個小三角形面積已在圖上標明，求△ABC的面積．
（3）如圖4，若點P為△ABC的邊AB上的中線CF的中點，求S△APE與S△BPF的比值．

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