Question

如圖，矩形ABCD，AD=3厘米，AB=4厘米，N為BC上一點(diǎn)，BN=1厘米，動(dòng)點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)，沿BA運(yùn)動(dòng)，速度是1厘米/秒．過(guò)M作直線(xiàn)垂直于AB，分別交AN，CD于點(diǎn)P，Q．當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)終點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）若t=1秒，則PM=

 

厘米；
（2）設(shè)四邊形PNCQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形PNCQ的面積與矩形ABCD的面積的比為9：24？

Answer 1

分析：（1）由矩形ABCD，過(guò)M作直線(xiàn)垂直于AB，分別交AN，CD于點(diǎn)P，Q，推出以四邊形AMQD是正方形，利用△AMP∽△ABN，得PM的值．
（2）由題意得BM=CQ=t，△AMP∽△ABN，利用對(duì)應(yīng)邊成比例求得PM，PQ，然后即可求得S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由S四邊形PNCQ=

9

24

S矩形ABCD，解關(guān)于t的方程t²+16t-36=0即可．

解答：解：（1）由矩形ABCD，AD=3厘米，AB=4厘米，N為BC上一點(diǎn)，BN=1厘米，
過(guò)M作直線(xiàn)垂直于AB，分別交AN，CD于點(diǎn)P，Q，
所以四邊形AMQD是正方形，由△AMP∽△ABN，得

MP

BN

=

AM

AB

=

3

4

．

（2）由題意得BM=CQ=t
∵△AMP∽△ABN，
∴

PM

BN

=

AM

AB

，
∴

PM

1

=

4-t

4

，
∴PM=

4-t

4

，
∴PQ=AD-PM=3-

4-t

4

=

8+t

4

∴S=

1

2

（PQ+CN）×CQ=

1

2

(

8+t

4

+2)×t=

1

8

t2+2t．

（3）S四邊形PNCQ=

9

24

S矩形ABCD，
∴

1

8

t2+2t=

9

24

×3×4，
∴t²+16t-36=0，t₁=2，t₂=-18（舍去）
∴BM=2×1=2厘米，
∴當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形PNCQ的面積與矩形ABCD的面積比為9：24．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)和矩形的性質(zhì)的理解和掌握，此題涉及到動(dòng)點(diǎn)，難度較大．