Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=1，AB=2．將三角形ABD沿BD翻折，點(diǎn)A恰好落在CD邊上的點(diǎn)E處，連接AE，交BD于點(diǎn)F．給出下列5個(gè)結(jié)論：
①△BCD是等腰三角形；②；③；④S_△EFB=2S_△ADE；⑤AE=．
其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為

1. A.
   2個(gè)
2. B.
   3個(gè)
3. C.
   4個(gè)
4. D.
   5個(gè)

Answer 1

B
分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠ADB=∠EDB，∠BED=∠BAC=90°，DE=DA=1，AF=EF，BE=BA=2，再由AD∥BC得到∠ADB=∠CBD，則∠CBD=∠BDC，可判斷△BCD是等腰三角形；設(shè)CE=x，則CB=x+1，利用勾故故定理可得到關(guān)于x的方程（x+1）²=2²+x²，解得x=，然后利用梯形的面積公式可計(jì)算出S_梯形ABCD=（1+）×2=；再在Rt△BCE中，利用余弦的定義可計(jì)算出cos∠C===；易證得Rt△ABF∽R(shí)t△DAF，利用相似的性質(zhì)得到S_△ABF：S_△DAF=AB²：AD²=4：1，而S_△ABF=S_△BEF，S_△DAF=S_△DEF，則有S_△EFB=2S_△ADE；最后利用面積法可計(jì)算出AE的長(zhǎng)為．
解答：∵三角形ABD沿BD翻折，點(diǎn)A恰好落在CD邊上的點(diǎn)E處，
∴∠ADB=∠EDB，∠BED=∠BAC=90°，DE=DA=1，AF=EF，BE=BA=2，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠CBD=∠BDC，
∴△BCD是等腰三角形，所以①正確；
設(shè)CE=x，則CB=x+1，
在Rt△BCE中，BC²=BE²+CE²，即（x+1）²=2²+x²，解得x=，
∴BC=1+x=，
∴S_梯形ABCD=（1+）×2=，所以②正確；
在Rt△BCE中，cos∠C===，所以③錯(cuò)誤；
∵AF⊥BD，
∴Rt△ABF∽R(shí)t△DAF，
∴S_△ABF：S_△DAF=AB²：AD²=4：1，
而S_△ABF=S_△BEF，S_△DAF=S_△DEF，
∴S_△EFB=2S_△ADE，所以④正確；
∵S_{四邊形ABED}=BD•AE=2S_△ABD，
而B(niǎo)D==，
∴וAE=2××2×1，
∴AE=，所以⑤錯(cuò)誤．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等．也考查了等腰三角形的判定、直角梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．