已知拋物線y=ax2-2x+c與它的對稱軸相交于點A(1,-4),與y軸交于C,與x軸正半軸交于B.
(1)求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)直線AC交x軸于D,P是線段AD上一動點(P點異于A,D),過P作PE∥x軸交直線AB于E,過E作EF⊥x軸于F,求當(dāng)四邊形OPEF的面積等于時點P的坐標.

【答案】分析:(1)由題意可知拋物線的頂點就是A點,因此可將A的坐標代入拋物線的解析式中,并根據(jù)對稱軸x==1,聯(lián)立方程組即可求出a,c的值,進而可得出拋物線的解析式.
(2)四邊形OPEF是個直角梯形,可先求出AD,AB所在直線的解析式,根據(jù)AD所在直線的解析式設(shè)出P的坐標,又由于PE∥x軸,P、E兩點的縱坐標相同,然后根據(jù)AB所在直線的解析式得出E點的坐標,進而可求出F點的坐標.根據(jù)求出的P、E、F三點坐標,可得出梯形的上下底OF、EP的長以及直角梯形的高EF的長(即E點縱坐標的絕對值),根據(jù)梯形的面積公式即可得出關(guān)于梯形的面積與P點坐標的函數(shù)解析式,然后將S=代入函數(shù)中即可求出P點的坐標.
解答:解:(1)由題意,知點A(1,-4)是拋物線的頂點,

∴a=1,c=-3,
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=x2-2x-3.

(2)由(1)知,點C的坐標是(0,-3).
設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,

∴b=-3,k=-1,
∴y=-x-3.
由y=x2-2x-3=0,得x1=-1,x2=3,
∴點B的坐標是(3,0).
設(shè)直線AB的函數(shù)關(guān)系式是y=mx+n,
解得m=2,n=-6.
∴直線AB的函數(shù)關(guān)系式是y=2x-6.
設(shè)P點坐標為(xP,yP),則yP=-xP-3.
∵PE∥x軸,
∴E點的縱坐標也是-xP-3.
設(shè)E點坐標為(xE,yE),
∵點E在直線AB上,
∴-xP-3=2xE-6,
∴xE=
∵EF⊥x軸,
∴F點的坐標為(,0),
∴PE=xE-xP=,OF=,EF=-(-xP-3)=xP+3,
∴S四邊形OPEF=(PE+OF)•EF=+)•(xP+3)=,
2xP2+3xP-2=0,
∴xP=-2,,
當(dāng)y=0時,x=-3,
而-3<-2<1,,
∴P點坐標為和(-2,-1)
點評:本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A(-2,0),B(0,-4),C(2,-4)三點,且精英家教網(wǎng)與x軸的另一個交點為E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)用配方法求拋物線的頂點D的坐標和對稱軸;
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,k=
 

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2、已知拋物線y=ax2+bx+c的開口向下,頂點坐標為(2,-3),那么該拋物線有(  )

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精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(其中b>0,c<0)的頂點P在x軸上,與y軸交于點Q,過坐標原點O,作OA⊥PQ,垂足為A,且OA=
2
,b+ac=3.
(1)求b的值;
(2)求拋物線的解析式.

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(2013•廣州)已知拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)過點A(1,0),頂點為B,且拋物線不經(jīng)過第三象限.
(1)使用a、c表示b;
(2)判斷點B所在象限,并說明理由;
(3)若直線y2=2x+m經(jīng)過點B,且于該拋物線交于另一點C(
ca
,b+8
),求當(dāng)x≥1時y1的取值范圍.

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