Question

如圖，BC為⊙O的直徑，A是⊙O上一點(diǎn)，AD⊥BC于點(diǎn)D，直徑BC=10，CD=2．
（1）求證：△ABD∽△CAD；
（2）求AD的值．

Answer 1

（1）證明：∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°．
∵AD⊥BC，
∴∠BAD+∠B=90°，
∴∠B=∠DAC．
在△ABD與△CAD中，
，
∴△ABD∽△CAD；

（2）∵BC=10，CD=2，
∴BD=8．
∵△ABD∽△CAD，
∴AD：CD=BD：AD，
∴AD²=CD•BD=8×2=16，
∴AD=4．
分析：（1）先根據(jù)圓周角定理得出∠BAC=90°，再由同角的余角相等得出∠B=∠DAC，又∠ADB=∠CDA=90°，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似即可證明△ABD∽△CAD；
（2）先由BC=10，CD=2，得出BD=8，再由△ABD∽△CAD，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的邊相等得出AD：CD=BD：AD，從而求出AD的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)圓周角定理得出∠BAC=90°之后，證明△ABD∽△CAD是解題的關(guān)鍵．