Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=8，∠ABC=60°，BD為對(duì)角線(xiàn)，點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿折線(xiàn)段A-B-C以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)沿線(xiàn)段BD以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，若運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求BC、BD的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)M在線(xiàn)段AB上時(shí)（與A、B不重合），求當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AMND的面積等于為？
（3）求當(dāng)t為何值時(shí)，△BMN與△ABD相似？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)：兩腰相等，兩個(gè)底角相等，來(lái)作答；
（2）過(guò)M作MH⊥BN于H，則AM=4t，BM=8-4t，MH=4-2t，BN=2t，然后根據(jù)題意列出代數(shù)式求值；
（3）根據(jù)相似三角形的不同的對(duì)應(yīng)角與對(duì)應(yīng)邊分別來(lái)解答．
解答：解：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=8，∠ABC=60°，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABD=∠ADB=∠DBC=30°，
∴∠BDC=180°-60°-30°=90°，
∴BC=2CD=16，BD=8；

（2）過(guò)點(diǎn)D作梯形ABCD的高線(xiàn)h，則h=4，
∴S_梯形ABCD=12（AD+BC）h
=12×（8+16）×4
=48；
S_△BDC=12BC•h
=12×16×4
=32；
∴S_△ABD=S_梯形ABCD-S_△BDC=16；
過(guò)M作MH⊥BN于H，則AM=4t，BM=8-4t，MH=12BM=4-2t，BN=2t，
當(dāng)0＜4t＜8，即0＜t＜2時(shí)，點(diǎn)M在A(yíng)B上，則
S_{四邊形AMND}=16-12BN•MH=16-12×2t•（4-2t）=2t²-4t+16（6分）
2t²-4t+16=，（7分）
解得：t₁=，t₂=（9分）

（3）△BMN與△ABD相似且∠ABD=∠MBN=30°
①當(dāng)△MBN∽△ABD時(shí)，
===，
當(dāng)0＜t＜2時(shí)，M在A(yíng)B上，故；
當(dāng)2＜t＜4時(shí)，M在BC上，故t₂=4；
②當(dāng)△NBM∽△ABD時(shí)，
，即，
當(dāng)0＜t＜2時(shí)，M在A(yíng)B上，故t₃=；
當(dāng)2＜t＜4時(shí)，M在BC上，故t₄=-4（舍去）．
綜上所述，當(dāng)、t₂=4或t₃=時(shí)，△BMN與△ABD相似．
點(diǎn)評(píng)：總結(jié)：（1）等腰梯形的性質(zhì)：兩腰相等、兩個(gè)底角相等；對(duì)角線(xiàn)平分對(duì)角；
（2）相似三角形的判定和性質(zhì)，①如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．平行于三角形一邊的直線(xiàn)截另兩邊或另兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)所組成的三角形與原三角形相似．相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等．