Question

已知拋物線y＝ax²＋c的頂點(diǎn)為D(0，)，且過點(diǎn)A(1，)，如圖所示．

(1)試求這條拋物線的代數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)F是坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于該拋物線頂點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)，坐標(biāo)為(0，)，我們可以用以下方法求線段FA的長度：過點(diǎn)A作AA₁⊥x軸，過F作x軸的平行線交AA₁于點(diǎn)A₂，則FA₂＝1，A₂A＝－＝．在Rt△AFA₂中，有FA＝＝．

已知拋物線上另一點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，求線段FB的長．

(3)若點(diǎn)P是該拋物線上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，試探究線段FP的長度與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的大小關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

答案：
解析：

[答案](1)由已知，得 　　解這個(gè)方程組，得 　　∴該拋物線的代數(shù)表達(dá)式為y＝2x2＋． 　　(2)當(dāng)x＝2時(shí)，y＝2×22＋＝． 　　即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，)． 　　如圖，過B作BB1⊥x軸于點(diǎn)B1，過F作FB2∥x軸交BB1于點(diǎn)B2，則FB2＝2，BB2＝－＝． 　　在Rt△BFB2中，FB＝＝． 　　(3)相等 　　設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則x＞0，y＞0，且y＝2x2＋． 　　過P作PP1⊥x軸于P1，過F作FP2∥x軸交PP1于點(diǎn)P2，則FP2＝x，PP2＝y－＝2x2＋－＝2x2－ 　　在Rt△PFP2中，FP＝＝＝2x2＋＝y． 　　∴拋物線在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于這一點(diǎn)P的縱坐標(biāo)． 　　[剖析]由FA、FB的長，可獲得第(3)問的猜想，從FA、FB的長的求解過程可發(fā)現(xiàn)，求長的關(guān)鍵是要知道該點(diǎn)的坐標(biāo)，故可先設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)(由于P點(diǎn)在第一象限，故x＞0，y＞0，然后用x的代數(shù)式表示FP的長度，最后由y與x的關(guān)系獲得FP與y的關(guān)系．

提示：

[方法提煉] 　　通過閱讀、理解，獲得一種新的方法，然后運(yùn)用新方法解決問題．另外還要注意從結(jié)論和過程兩個(gè)角度進(jìn)行歸納，以獲得一般性的結(jié)論和解法．