Question

如圖，已知等邊△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，△DEB為等邊三角形，連接CE并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接AD并延長(zhǎng)與BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，再連接MN．
求證：△BMN是等邊三角形．

Answer 1

證明：∵△ABC和△DEB為等邊三角形，
∴BC=AB，∠ABC=∠DBE=60°，DB=EB，
在△ADB與△CBE中，
∵，
∴△ADB≌△CBE（SAS），
∴∠BAD=∠BCE，
又∵∠ABN=∠ABC+∠CBN=120°，∠CBM=180°-∠ABC=120°，即∠ABN=∠CBM，
在△ABN和△CBM中，
∵，
∴△ABN≌△CBM（ASA），
∴BN=BM．
又∵∠NBM=180°-∠ABC-∠DBE=60°，
∴△BMN是等邊三角形．
分析：首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出BC=AB，∠ABC=∠DBE=60°，DB=EB，由SAS證出△ADB≌△CBE，于是∠BAD=∠BCE；
然后根據(jù)平角定義易知∠ABN=∠CBM=120°，結(jié)合AC=BC，利用ASA可證△ABN≌△CBM，從而有BM=BN．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明△ADB≌△CBE和△ABN≌△CBM．