Question

如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC內(nèi)接于半圓，其中OA為直徑，弦AB=OC=3cm，∠OAB=60°，P點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度向A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，Q從A點(diǎn)出發(fā)，沿邊AB向B以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．
（1）求運(yùn)動(dòng)x秒后Q點(diǎn)的坐標(biāo)（用含x的式子表示）．
（2）是否存在x，使得PQ∥OB？若存在，則求出x的值；若不存在，說明理由．
（3）求BC的長．
（4）當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，寫出五邊形OPQBC的面積y與時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍（不包括點(diǎn)P在O、A兩點(diǎn)時(shí)的情況）．求出五邊形OPQBC的面積的最小值及此時(shí)x的值？

Answer 1

分析：（1）連接OB，由OA為直徑得∠OBA=90°，根據(jù)AB=3cm，∠OAB=60°得到OA=6，作QE⊥OA于點(diǎn)E分別表示出QE和AE，就可以表示出運(yùn)動(dòng)x秒后Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）要使PQ∥OB，只需利用平行線分線段成比例定理得到

AP

AO

=

AQ

AB

，據(jù)此可以求得x的值；
（3）先證明四邊形OABC為梯形，利用等弧所對(duì)的圓周角相等得到∠CBA=∠BOA，進(jìn)而得到BC∥OA，判定四邊形OABC為梯形．再根據(jù)AB=OC判定四邊形OABC為等腰梯形．
（4）利用y=S_OABC-S_△APQ表示出y與x之間的二次函數(shù)關(guān)系求最值即可．

解答：解：（1）如圖，連接OB，
∵OA為直徑，
∴∠OBA=90°，
又∵AB=3cm，∠OAB=60°，
∴OA=6，
作QE⊥OA于點(diǎn)E，
則AQ=x，QE=

3

2

x，AE=

1

2

x，
∴運(yùn)動(dòng)x秒后Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（6-

x

2

，

3

2

x）；（4分）

（2）要使PQ∥OB，只需

AP

AO

=

AQ

AB

，
即

6-2x

6

=

x

3

，
∴x=1.5秒，
答：存在x=1.5，使得PQ∥OB．（8分）

（3）先證明四邊形OABC為梯形，（否則扣2分）
∵OC=AB，
∴

OC

=

AB

，
∴∠CBO=∠BOA（等弧所對(duì)的圓周角相等），
∴BC∥OA，
又∵BC＜OA，
∴四邊形OABC為梯形．
又∵AB=OC，
∴四邊形OABC為等腰梯形．
作BF⊥OA于F，則AF=1.5，
∴BC=6-2×1.5=3（cm）；（12分）

（4）由（3）問可知，BF=

3

2

3

cm，
∴y=S_OABC-S_△APQ，
=

1

2

(3+6)×

3

2

3

-

1

2

(6-2x)×

3

2

x，
=

3

2

x2-

3 3

2

x+

27 3

4

（0＜x＜3），（14分）
∴y=

3

2

(x-

3

2

)2+

45 3

8

，
∴當(dāng)x=

3

2

時(shí)，y有最小值

45 3

8

cm²．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理平行線分線段成比例定理的知識(shí)，特別是題目中的動(dòng)點(diǎn)問題更是中考的常見考點(diǎn)，難度較大．