Question

如圖，BD是⊙O的直徑，AB與⊙O相切于點B，過點D作OA的平行線交⊙O于點C，AC與BD的延長線相交于點E．
（1）試探究AE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若EC=4，ED=2，AC=6，求CD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用切線的性質(zhì)與判定得出∠3=∠4，進(jìn)而得出△ABO≌△ACO，進(jìn)而利用切線的判定得出即可；
（2）利用平行線性質(zhì)以及勾股定理和切線的性質(zhì)求出即可．
解答：解：（1）AE是⊙O的切線，
證明：連接CO，
∵AB與⊙O相切于點B，
∴∠ABO=90°，
∵CD∥AO，CO=DO，
∴∠1=∠2，∠2=∠4，∠1=∠3，
∴∠3=∠4，
∵CO=BO，AO=AO，
∴，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴∠ABO=∠ACO=90°．
∴AE與⊙O相切于點C；

（2）∵CD∥AO，
∴==，
∵EC=4，ED=2，AC=6，
∴=，
∴DO=3，
∴BO=3，
∵AC，AB是⊙O的切線，
∴AC=AB=6，
∴AO==3，
∴==，
∴CD=．
點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)與判定以及平行線分線段成比例定理和勾股定理等知識，根據(jù)已知得出△ABO≌△ACO以及求出AO的長是解題關(guān)鍵．