Question

已知關于x的方程kx²+2（k+1）x-3=0
（1）若方程有兩個有理數根，求整數k的值
（2）若k滿足不等式16k+3＞0，試討論方程根的情況．

Answer 1

分析：（1）方程有兩根，則根據跟的判別式求出k的取值范圍，然后根據兩根都是有理數，進而判斷出整數k的值，
（2）分類討論，當k=0時，方程是一元一次方程，方程的根只有一個，當k≠0，結合不等式16k+3＞0和跟的判別式等條件討論出方程根的情況．

解答：解：（1）若方程有兩個有理數根，
則△=4（k+1）²+12k≥0，
解得k≤

-5- 21

2

或k≥

-5+ 21

2

，
若一元二次方程有有理根，
則△=4（k+1）²+12k是一個有理數的平方，
解得k=3或-5或-8，

（2）若k滿足不等式16k+3＞0，
即k＞-

3

16

，
①若k=0，方程kx²+2（k+1）x-3=0只有一個根，
②當k≠時，方程kx²+2（k+1）x-3=0為一元二次方程，
令△=4（k+1）²+12k=4k²+20k+4=0，
解得k=

-5± 21

2

，
又知-

3

16

＞

-5+ 21

2

，
∴當16k+3＞0時，△＞0，
∴方程有兩個根，
故當k=0時，方程有一個根，
當k≠0，16k+3＞0，時，方程有兩個根．

點評：本題主要考查一元二次方程的整數根與有理根的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數的關系和跟的判別式的知識，此題有點難度．