Question

如圖，在矩形ABCD中，E是CD邊上任意一點（不與點C，D重合），作AF⊥AE交CB的延長線于點F．

（1）求證：△ADE∽△ABF；

（2）連接EF，M為EF的中點，AB＝4，AD＝2，設(shè)DE＝x，

     ①求點M到FC的距離（用含x的代數(shù)式表示）；

     ②連接BM，設(shè)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出BM的長度的最小值．

Answer 1

（1）證明：∵ 在矩形ABCD中，∠DAB =∠ABC =∠C =∠D =90°．

∴ ．

∵ AF⊥AE，

∴ ∠EAF =．

∴ ．

∴ ∠DAE =∠BAF．

∴ △ADE∽△ABF．

（2）解：①如圖，取FC的中點H，連接MH．

∵ M為EF的中點，

∴ MH∥DC ，．

∵ 在矩形ABCD中，∠C =90°，

∴ MH⊥FC，即MH是點M到FC的距離．

∵ DE=x，DC=AB=4．

∴ EC=，

∴ ．

即點M到FC的距離為MH．

②∵△ADE∽△ABF，

∴ ．

∴ ．

∴ ，FC=，FH= CH=．

∴ ．

∵ ，

∴ 在Rt△MHB中，

．

∴ （），

當(dāng)時，BM長的最小值是．